【正文】 明。11. 證明（a）如果A是對(duì)稱(chēng)正定陣，則也是正定陣；（b）如果A是對(duì)稱(chēng)正定陣，則A可唯一寫(xiě)成,其中L是具有正對(duì)角元的下三角陣。10. 對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。5. 利用尤拉方法計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線(xiàn)性插值求cos x 近似值時(shí)的總誤差界.5. 設(shè),k=0,1,2,3,求.6. 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j=0,1,…,n),求證:i)ii)7. 設(shè)且,求證8. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表,若用二次插值求的近似值,要使截?cái)嗾`差不超過(guò),問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)取多少?9. 若,求及.10. 如果是次多項(xiàng)式,記,證明的階差分是次多項(xiàng)式,并且為正整數(shù)).11. 證明.12. 證明13. 證明14. 若有個(gè)不同實(shí)根,證明15. 證明階均差有下列性質(zhì):i) 若,則。(3)。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。5. 由高斯消去法說(shuō)明當(dāng)時(shí)，則A=LU，其中L為單位下三角陣，U 為上三角陣。23. 證明：當(dāng)且盡當(dāng)x和y線(xiàn)性相關(guān)且時(shí)，才有。11. 設(shè)有方程組，其中A為對(duì)稱(chēng)正定陣，迭代公式 試證明當(dāng)時(shí)上述迭代法收斂（其中）。4. 求矩陣與特征值4對(duì)應(yīng)的特征向量。8．9． 。 printf(x[0]=%f\n,x[0])。 ii) 由于為三次函數(shù)，故為常數(shù)，又，則，所以。14. 由泰勒級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)節(jié)約，在上有，即其中誤差限為。28. 經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為。 2) 3) 6. 梯形公式和辛甫森公式的余項(xiàng)分別為其中，所以當(dāng)時(shí)，即兩公式均收斂到積分，且分別為二階和四階收斂。5． 取步長(zhǎng)h=，f()=，f(1)=，f()=，f(2)=。5. 迭代函數(shù)， ，由已知，有，所以即迭代過(guò)程收斂。13. ，取，迭代三次得。15． 按高斯消去法，無(wú)法進(jìn)行第二次消去，換行后可以分解，第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，可唯一分解。31． (a) ，(b),。9. 取，迭代公式為使當(dāng)時(shí)迭代終止，取時(shí)，迭代5次達(dá)到；取時(shí)，迭代6次達(dá)到；取時(shí)，迭代6次達(dá)到。A不可約則G也不可約，又A為弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，則當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，G為不可約弱對(duì)角占優(yōu)，于是有，故，SOR方法收斂。10．(a)令，帶位移QR方法計(jì)算可得 ，(b) 令，帶位移QR方法計(jì)算可得。17. 用SOR方法解方程組，其中A對(duì)稱(chēng)正定，數(shù)組x用來(lái)存放解向量，用控制迭代終止，k表示迭代次數(shù)。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄?，都有，令，則即當(dāng)時(shí)，的任一列向量的極限為A的對(duì)應(yīng)的列向量，因而有。27． 若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點(diǎn)即可得。11． (a)， 由此可知也是對(duì)稱(chēng)矩陣，由此可知也是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，(b)，得出唯一正對(duì)角元的下三角陣使得。 2) ，迭代格式收斂，且收斂到。第六章 方程求根1. 令，則符號(hào)0021－112－22＋3＋4－5－2. 3. 1) ，在附近，迭代公式收斂。誤差分別為。4) ，具有3次代數(shù)精度。24. 由積分區(qū)間的對(duì)稱(chēng)性及勒讓德多項(xiàng)式的奇偶性可知，將原函數(shù)在此積分區(qū)間上按勒讓德多項(xiàng)式三次展開(kāi)就可以求得，代入可得，均方誤差為。11. ，故正交。i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2。}float I(float x,float a,float b){ return((xb)/(ab)*f(a)+(xa)/(ba)*f(b))。4． 。19. 設(shè)，其中A為非奇異陣。6. 求證的充要條件是對(duì)任何向量x，都有7. 設(shè)，其中A對(duì)稱(chēng)正定，問(wèn)解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題5(a)方程組。20. 設(shè) 且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。14. 應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求15. 證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。11. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：12. 將下列方程化為一階方程組：1）2）3） 13. 取h=，用差分方法解邊值問(wèn)題14. 對(duì)方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問(wèn)題驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解15. 取h=第六章 方程求根1. 用二分法求方程的正根，要求誤差。(2)。(3)。2. 用比例求根法求在區(qū)間[0,1]內(nèi)的一個(gè)根，直到近似根滿(mǎn)足精度時(shí)終止計(jì)算。假定初值充分靠近根，求第七章 解線(xiàn)性方程組的直接方法1. 考慮方程組：(a) 用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計(jì)算），(b) 用列主元消去法解上述方程組并且與(a)比較結(jié)果。試證明是上的一種向量范數(shù)。8. 設(shè)方程組(a) 求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(b) 求解此方程組的高斯－塞德?tīng)柕ǖ牡仃嚨淖V半徑；(c) 考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯－塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?a) 求證為對(duì)稱(chēng)正定陣；(b) 求證。5． 。}void main(){ int i。 f(xx)。12. 用的4個(gè)零點(diǎn)做插值節(jié)點(diǎn)可求得三次近似最佳逼近多項(xiàng)式為。25. ，其中。2. 1) ＝ ＝ ＝ 2) 3) 4) 3. 柯特斯公式為.其中.驗(yàn)證對(duì)于，均成立，但時(shí)不成立。第五章 常微分方程數(shù)值解法習(xí)題參考答案1． 尤拉法表達(dá)式，誤差，改進(jìn)尤拉法表達(dá)式，無(wú)誤差。 2) ，在附近，迭代公式收斂。要使 ，則，為一階收斂。12． 。28． 。7. A對(duì)稱(chēng)正定，Jacobi迭代法不一定收斂，如題5(a)。k=0, i=1i=n|P||P0|P0=P。11．，故有。是否否是18. 證：方程組的SOR迭代矩陣為，特征方程，即，記只要當(dāng)時(shí)，則的根均滿(mǎn)足。事實(shí)上，對(duì)于方程組，矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)則Jacobi和GaussSeidel迭代法均收斂。30． ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值7。14． 。，則，所以，又 ，所以，因此迭代格式為線(xiàn)性收斂。4. 1) ； 2) 。當(dāng)時(shí)。5. 1) 此差值型求積公式的余項(xiàng)為由于在上恒為正，故在上存在一點(diǎn)，使所以有。27. 經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，運(yùn)動(dòng)方程為。由拉格朗日插值的余項(xiàng)表達(dá)公式可得出，令，則待證不等式成立，得證。 }}21. 在每個(gè)小區(qū)間上為22. 則在每個(gè)小區(qū)間上表示為 23. 則三次樣條插值函數(shù)表達(dá)式為i) 由，得，關(guān)于的方程組為24. i) 因?yàn)樗杂遥剑阶蟆? x[0]=5