數(shù)值分析第三版課本習題及答案-資料下載頁
2025-06-24 21:25本頁面
【正文】 為， 設(shè)迭代函數(shù)為 ，則，.15. 記迭代函數(shù) ，則，由上 ①兩邊求導(dǎo)得 則可得 對①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 對①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 所以迭代公式是三階方法，且.第七章 解線性方程組的直接方法習題參考答案 1． (a)高斯消去法解得；(b)列主元消去法解得。2． (a)，故對稱。(b) 高斯消去法解得。3． (a)，(b)由及(a)的結(jié)論可得, 。4． 因為非奇異，的對角元不為零，又分解等價于高斯消去法，由引理可知，矩陣的順序主子式均不為零。5． 高斯消去法第步等價于左乘單位下三角矩陣，而順序主子式均不為零保證所得矩陣對角元不為零，可進行第步消元。6． ，則是對角優(yōu)勢陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對于對稱的對角優(yōu)勢陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。7． (1)，(2)，又有當時，故是對稱正定矩陣，(3) ，(4)若，令，由于和也是對稱正定矩陣，代入得，矛盾，故的絕對值最大的元素必在對角線上，(5)，(6)對所有均有對稱正定。8． ，其中與位置互換。9． 對施行初等列變換，進行次初等列變換后，令即為所求。10． (a) 若為階可逆下三角矩陣，則 當時，而當 時，算法即從第一行開始順序循環(huán)，同理可知若為階可逆上三角矩陣，則當時，而當時，算法即從最后一行開始逆序循環(huán)，(b)第k步循環(huán)進行k次乘除法，共進行次乘除法，(c)。11． (a)， 由此可知也是對稱矩陣，由此可知也是對稱正定矩陣，(b)，得出唯一正對角元的下三角陣使得。12． 。13． 。14． 。15． 按高斯消去法，無法進行第二次消去，換行后可以分解，第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，可唯一分解。16． ，解得。17． 高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。18． 。19． (a),(b)。20． ，，故是上的向量范數(shù)。21． ，故，故是上的向量范數(shù)。22． 。23． 充分性：若有和線性相關(guān)且， 即，代入得；唯一性：若有，由于 ，兩邊同時平方可得出，消去共同項可得，當且僅當和線性相關(guān)時等號成立。24．以上圖像分別為。25． 。26． 由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)，使得，于是令0，0，則對任意，均有不等式。27． 若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點即可得。28． 。29． ，則，故存在。30． ，當時，當時，當時，有最小值7。31． (a) ，(b),。32． 。33． 。34． 。第八章 解線性方程組的迭代法習題參考答案1. (a) Jacobi迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，Jacobi迭代法收斂。GaussSeidel迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，GaussSeidel迭代法收斂。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上，迭代18次得，GaussSeidel迭代格式為其中G如上，迭代8次得。2. 證： ，則 故，因此，即級數(shù)收斂。3. 證： 設(shè)，一方面，另一方面，因此，即序列收斂于零。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項式為 解得 ，向量序列收斂的充要條件是 ，即 。5. (a) 譜半徑，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對稱正定，故GaussSeidel迭代法收斂。 (b) 譜半徑，Jacobi迭代法收斂； 譜半徑，GaussSeidel迭代法不收斂；6. 證：必要性 ，則 ，對任意向量，有 因而有 ，即。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄?，都有，令，則即當時，的任一列向量的極限為A的對應(yīng)的列向量，因而有。7. A對稱正定，Jacobi迭代法不一定收斂，如題5(a)。8. (a) Jacobi迭代矩陣的譜半徑；(b) GaussSeidel迭代矩陣的譜半徑；(c) 兩種方法的譜半徑均小于1，所以兩種方法均收斂。事實上，對于方程組，矩陣A為嚴格對角占優(yōu)則Jacobi和GaussSeidel迭代法均收斂。9. 取，迭代公式為使當時迭代終止，取時，迭代5次達到；取時，迭代6次達到；取時，迭代6次達到。10. 迭代公式為取，迭代8次達到精度要求。11. 證：所給迭代公式的迭代矩陣為，其n個特征值分別為，當時，有，因而，迭代法收斂。12. 證：(a) 即為GaussSeidel迭代格式。 (b) 由及，可得；其中。 (c) (d)13. (a) 由已知，有，及，則 ，即由到的迭代矩陣為，所以由到的迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。 (b) 由已知可推得，所以迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。由迭代矩陣可以看出，(b)迭代法的收斂速度是(a)的2倍。14. 證：由于，當時，所以A正定。Jacobi迭代矩陣譜半徑為，所以只對收斂。15. 取排列陣，則A為可約矩陣。16. 證： 迭代矩陣的特征方程為，若，則，所以，即對任給向量，迭代n次后，其中，則即最多迭代n次收斂于方程組的解。17. 用SOR方法解方程組，其中A對稱正定，數(shù)組x用來存放解向量，用控制迭代終止，k表示迭代次數(shù)。k=0, i=1i=n|P||P0|P0=P。|P0|ε輸出x, k。是否否是18. 證：方程組的SOR迭代矩陣為，特征方程，即，記只要當時，則的根均滿足。A不可約則G也不可約，又A為弱對角優(yōu)勢陣，則當且時，即時，G為不可約弱對角占優(yōu)，于是有，故，SOR方法收斂。19. 證：(a) ，設(shè)，則，為對稱正定陣。 (b) 因為為對稱陣，所以左右左。20. 證：A為嚴格對角占優(yōu)，則存在。第九章 矩陣的特征值與特征向量計算習題參考答案1．(a)取初始值(1,1,1)得13578(b)取初始值(1,1,1)得15913142．，使得，即，一定存在使得，則，反之，故。3．，由冪法得，原矩陣最接近6的特征值為，對應(yīng)的特征向量為。4．設(shè)特征向量為，則有，解得對應(yīng)的特征向量為。5．雅可比迭代進行五步可得，對應(yīng)的特征向量分別為，，最優(yōu)值。6．(a) ，正交，則第一列，又是對稱矩陣，的第一行和第一列除外均為零。(b) 為反射陣，解得。7．由豪斯荷爾德方法得。8．，解得，代入得9.(a)，(b)由可求出初等反射陣，依次類推。10．(a)令，帶位移QR方法計算可得 ，(b) 令，帶位移QR方法計算可得。11．，故有。
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