數(shù)值分析第三版課本習(xí)題及答案-閱讀頁
2025-07-09 21:25本頁面
【正文】 為，故，解方程可得出唯一解。7. ，故由可以解得，則有，故所求最佳一次逼近多項式為。9. 作變換代入得，則在上的三次最佳逼近多項式為，作逆變換代入，則在上的三次最佳逼近多項式為。11. ，故正交。13. ，則有，其中。14. 由泰勒級數(shù)項數(shù)節(jié)約，在上有，即其中誤差限為。同理可證，當(dāng)為上的偶函數(shù)時，最佳逼近多項式也是偶函數(shù)。18. (a)，c為常數(shù)，但當(dāng)時，,不滿足定義，所以不構(gòu)成內(nèi)積。19. ，其中，則，由此可知用積分中值定理估計比許瓦茲不等式估計更精確。在時，值為，時，值為1，時，值為，時最小。22. 上均為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則最小，由拉格朗日乘子法可解得。24. 由積分區(qū)間的對稱性及勒讓德多項式的奇偶性可知，將原函數(shù)在此積分區(qū)間上按勒讓德多項式三次展開就可以求得，代入可得，均方誤差為。26. ，解方程得，均方誤差。28. 經(jīng)驗公式為，最小二乘法解得，濃度與時間的函數(shù)關(guān)系為。，計算。是否令29.輸入初始數(shù)組，等分點數(shù)。判斷計算。令否是判斷判斷否是否是30.31. ， 。2) ，具有3次代數(shù)精度。4) ，具有3次代數(shù)精度。4. ＝，所以。 2) 3) 6. 梯形公式和辛甫森公式的余項分別為其中，所以當(dāng)時，即兩公式均收斂到積分，且分別為二階和四階收斂。8. 首先算出，然后逐次應(yīng)用3個加速公式計算結(jié)果如下表k0123所以，積分。10. 由泰勒展開式有 由于，用外推算法，令，則 ， 。2) ，令三點高斯公式五點高斯公式 ＝。此積分精確值為。， ， 的誤差 的誤差 的誤差 。誤差分別為。2．近似解準確解近似解準確解3．近似解準確解4． ，即，又由，則有。5． 取步長h=，f()=，f(1)=，f()=，f(2)=。(2) 類似(1)展開可得，同理有， 代入龍格庫塔公式可得。10． ，代入得，截斷誤差首項為。12． (1)，其中。(3)，其中。14． ，初值條件等于準確解，由數(shù)學(xué)歸納法代入差分公式中可得，即差分法求出的解恒等于準確解。第六章 方程求根1. 令，則符號0021－112－22＋3＋4－5－2. 3. 1) ，在附近，迭代公式收斂。 3) ，迭代公式發(fā)散。5. 迭代函數(shù)， ，由已知，有，所以即迭代過程收斂。7. 1) 牛頓法迭代格式 。 3) 拋物線法 ，故 ，則。9. ，即。10. 迭代函數(shù)為，且有， . 其中介于與之間。將上式兩邊取極限，及，得。 2) ，迭代格式收斂，且收斂到。12. 令，迭代公式為。13. ，取，迭代三次得。2． (a)，故對稱。3． (a)，(b)由及(a)的結(jié)論可得, 。5． 高斯消去法第步等價于左乘單位下三角矩陣，而順序主子式均不為零保證所得矩陣對角元不為零，可進行第步消元。7． (1)，(2)，又有當(dāng)時，故是對稱正定矩陣，(3) ，(4)若，令，由于和也是對稱正定矩陣，代入得，矛盾，故的絕對值最大的元素必在對角線上，(5)，(6)對所有均有對稱正定。9． 對施行初等列變換，進行次初等列變換后，令即為所求。11． (a)， 由此可知也是對稱矩陣，由此可知也是對稱正定矩陣，(b)，得出唯一正對角元的下三角陣使得。13． 。15． 按高斯消去法，無法進行第二次消去，換行后可以分解，第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，可唯一分解。17． 高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。19． (a),(b)。21． ，故，故是上的向量范數(shù)。23． 充分性：若有和線性相關(guān)且， 即，代入得；唯一性：若有，由于 ，兩邊同時平方可得出，消去共同項可得，當(dāng)且僅當(dāng)和線性相關(guān)時等號成立。25． 。27． 若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點即可得。29． ，則，故存在。31． (a) ，(b),。33． 。第八章 解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案1. (a) Jacobi迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，Jacobi迭代法收斂。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上，迭代18次得，GaussSeidel迭代格式為其中G如上，迭代8次得。3. 證： 設(shè)，一方面，另一方面，因此，即序列收斂于零。5. (a) 譜半徑，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對稱正定，故GaussSeidel迭代法收斂。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄?，都有，令，則即當(dāng)時，的任一列向量的極限為A的對應(yīng)的列向量，因而有。8. (a) Jacobi迭代矩陣的譜半徑；(b) GaussSeidel迭代矩陣的譜半徑；(c) 兩種方法的譜半徑均小于1，所以兩種方法均收斂。9. 取，迭代公式為使當(dāng)時迭代終止，取時，迭代5次達到；取時，迭代6次達到；取時，迭代6次達到。11. 證：所給迭代公式的迭代矩陣為，其n個特征值分別為，當(dāng)時，有，因而，迭代法收斂。 (b) 由及，可得；其中。 (b) 由已知可推得，所以迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。14. 證：由于，當(dāng)時，所以A正定。15. 取排列陣，則A為可約矩陣。17. 用SOR方法解方程組，其中A對稱正定，數(shù)組x用來存放解向量，用控制迭代終止，k表示迭代次數(shù)。|P0|ε輸出x, k。A不可約則G也不可約，又A為弱對角優(yōu)勢陣，則當(dāng)且時，即時，G為不可約弱對角占優(yōu)，于是有，故，SOR方法收斂。 (b) 因為為對稱陣，所以左右左。第九章 矩陣的特征值與特征向量計算習(xí)題參考答案1．(a)取初始值(1,1,1)得13578(b)取初始值(1,1,1)得15913142．，使得，即，一定存在使得，則，反之，故。4．設(shè)特征向量為，則有，解得對應(yīng)的特征向量為。6．(a) ，正交，則第一列，又是對稱矩陣，的第一行和第一列除外均為零。7．由豪斯荷爾德方法得。10．(a)令，帶位移QR方法計算可得 ，(b) 令，帶位移QR方法計算可得。
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