【正文】 式為。8. 切比雪夫多項(xiàng)式在上對(duì)零偏差最小，所求函數(shù)必為切比雪夫多項(xiàng)式的常數(shù)倍，解得唯一解 。15. ，取為的近似，誤差限為，再對(duì)冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行節(jié)約就可以得到原函數(shù)的3次逼近多項(xiàng)式，其誤差限為，即為所求16. 當(dāng)為上的奇函數(shù)時(shí)，設(shè)為原函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，則，對(duì)有，所以也是最佳逼近多項(xiàng)式，由最佳逼近多項(xiàng)式的唯一性，即是奇函數(shù)。21. 要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，前者誤差小。輸入初始節(jié)點(diǎn)，權(quán)函數(shù)及正交多項(xiàng)式次數(shù)n。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題參考答案1. 1) 公式可對(duì)均準(zhǔn)確成立，即解得 ，具有3次代數(shù)精度。7. 設(shè)將積分區(qū)間分成n等分則應(yīng)有其中，解得。12. 三點(diǎn)公式：。6．(1)近似解(2)近似解7． ，則8． (1)令，泰勒展開可得，同理有， 代入龍格庫(kù)塔公式可得。13． 用差商逼近導(dǎo)數(shù)的方法把原邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)差分法方程組可得，解此方程組可得。6. 將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)在附近，所以迭代格式為。將上式兩邊除以，并將處泰勒展開得 ，其中介于與之間。14. 求的迭代公式分別為， 設(shè)迭代函數(shù)為 ，則，.15. 記迭代函數(shù) ，則，由上 ①兩邊求導(dǎo)得 則可得 對(duì)①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 對(duì)①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 所以迭代公式是三階方法，且.第七章 解線性方程組的直接方法習(xí)題參考答案 1． (a)高斯消去法解得；(b)列主元消去法解得。8． ，其中與位置互換。16． ，解得。24．以上圖像分別為。32． 。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項(xiàng)式為 解得 ，向量序列收斂的充要條件是 ，即 。10. 迭代公式為取，迭代8次達(dá)到精度要求。Jacobi迭代矩陣譜半徑為，所以只對(duì)收斂。19. 證：(a) ，設(shè)，則，為對(duì)稱正定陣。(b) 為反射陣，解得。8．，解得，代入得9.(a)，(b)由可求出初等反射陣，依次類推。20. 證：A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則存在。16. 證： 迭代矩陣的特征方程為，若，則，所以，即對(duì)任給向量，迭代n次后，其中，則即最多迭代n次收斂于方程組的解。12. 證：(a) 即為GaussSeidel迭代格式。 (b) 譜半徑，Jacobi迭代法收斂； 譜半徑，GaussSeidel迭代法不收斂；6. 證：必要性 ，則 ，對(duì)任意向量，有 因而有 ，即。34． 。26． 由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)，使得，于是令0，0，則對(duì)任意，均有不等式。18． 。10． (a) 若為階可逆下三角矩陣，則 當(dāng)時(shí)，而當(dāng) 時(shí)，算法即從第一行開始順序循環(huán)，同理可知若為階可逆上三角矩陣，則當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，算法即從最后一行開始逆序循環(huán)，(b)第k步循環(huán)進(jìn)行k次乘除法，共進(jìn)行次乘除法，(c)。(b) 高斯消去法解得。11. 1) ，迭代格式發(fā)散。 2) 弦截法迭代格式 。15． 差分方程，代入得。9． 二階顯式公式為，代入得，二階隱式公式為，代入得，真解為。五點(diǎn)公式：。9. ， ，所以 ＝4 ＝48728（可任選一種數(shù)值積分方法，如柯特斯公式）。3) 或具有2次代數(shù)精度。判斷計(jì)算。23. ，和差化積得證。17. ，為使均方誤差最小，則有，解得。10. ，其中。2. ，故，當(dāng)時(shí)。i10。i++) { x[i]=x[i1]+1。20. 在每個(gè)小區(qū)間上表示為計(jì)算各值的C程序如下：includeincludefloat f(float x){ return(1/(1+x*x))。12． ，如果令，則，的結(jié)果最好。3． 有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字，有4位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字。 (b)對(duì)于矩陣,λ=9是其特征值，是相應(yīng)于9的特征向量，試求一初等反射陣P，使，并計(jì)算。18. 設(shè)A為不可約弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣且，求證：解的SOR方法收斂。(c) 設(shè)A是對(duì)稱的，二次型證明 。(b) 用雅可比迭代法,高斯塞德爾迭代法解此方程組,要求當(dāng)時(shí)迭代終止．2. 設(shè), 證明:即使級(jí)數(shù)也收斂．3. 證明對(duì)于任意選擇的A, 序列收斂于零．４. 設(shè)方程組 迭代公式為 求證: 由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是5. 設(shè)方程組(a) (b) 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯塞德爾迭代法的收斂性。26. 設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對(duì)一切滿足27. 設(shè)，求證與特征值相等，即求證。19. 求證(a) ，(b) 。7. 設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過(guò)高斯消去法一步后，A約化為，其中證明 （1）A的對(duì)角元素（2）A2是對(duì)稱正定矩陣；（3）（4）A的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上；（5）（6）從（2），（3），（5）推出，如果，則對(duì)所有k8. 設(shè)為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即（除第k列對(duì)角元下元素外，和單位陣I相同）求證當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中為初等排列陣。13. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。6. 已知在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一根，而當(dāng)axb時(shí)，試問(wèn)如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，并求x=（弧度）附近的根。10. 證明解的下列差分公式是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。(3).6. 證明梯形公式()和辛普森公式()當(dāng)時(shí)收斂到積分.7. 用復(fù)化梯形公式求積分,問(wèn)要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(guò)(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?8. 用龍貝格方法計(jì)算積分,要求誤差不超過(guò).9. 衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓,橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是,這里是橢圓的半長(zhǎng)軸,是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記為近地點(diǎn)距離,為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,公里為地球半徑,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里,試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng).10. 證明等式試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值.11. 用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果.(1) 龍貝格方法。ii) 若,式中為插值節(jié)點(diǎn),且,則.26. 編出計(jì)算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖(可用()式的表達(dá)式). 第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算1. (a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項(xiàng)式.(b)對(duì)在上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級(jí)數(shù)部分和誤差做比較.2. 求證:(a)當(dāng)時(shí),. (b)當(dāng)時(shí),.3. 在次數(shù)不超過(guò)6的多項(xiàng)式中,求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式.4. 假設(shè)在上連續(xù),求的