【正文】 11．，故有。8．，解得，代入得9.(a)，(b)由可求出初等反射陣，依次類推。(b) 為反射陣，解得。5．雅可比迭代進(jìn)行五步可得，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，最優(yōu)值。3．，由冪法得，原矩陣最接近6的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為。20. 證：A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則存在。19. 證：(a) ，設(shè)，則，為對(duì)稱正定陣。是否否是18. 證：方程組的SOR迭代矩陣為，特征方程，即，記只要當(dāng)時(shí)，則的根均滿足。k=0, i=1i=n|P||P0|P0=P。16. 證： 迭代矩陣的特征方程為，若，則，所以，即對(duì)任給向量，迭代n次后，其中，則即最多迭代n次收斂于方程組的解。Jacobi迭代矩陣譜半徑為，所以只對(duì)收斂。由迭代矩陣可以看出，(b)迭代法的收斂速度是(a)的2倍。 (c) (d)13. (a) 由已知，有，及，則 ，即由到的迭代矩陣為，所以由到的迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。12. 證：(a) 即為GaussSeidel迭代格式。10. 迭代公式為取，迭代8次達(dá)到精度要求。事實(shí)上，對(duì)于方程組，矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)則Jacobi和GaussSeidel迭代法均收斂。7. A對(duì)稱正定，Jacobi迭代法不一定收斂，如題5(a)。 (b) 譜半徑，Jacobi迭代法收斂； 譜半徑，GaussSeidel迭代法不收斂；6. 證：必要性 ，則 ，對(duì)任意向量，有 因而有 ，即。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項(xiàng)式為 解得 ，向量序列收斂的充要條件是 ，即 。2. 證： ，則 故，因此，即級(jí)數(shù)收斂。GaussSeidel迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，GaussSeidel迭代法收斂。34． 。32． 。30． ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值7。28． 。26． 由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)，使得，于是令0，0，則對(duì)任意，均有不等式。24．以上圖像分別為。22． 。20． ，故是上的向量范數(shù)。18． 。16． ，解得。14． 。12． 。10． (a) 若為階可逆下三角矩陣，則 當(dāng)時(shí)，而當(dāng) 時(shí)，算法即從第一行開(kāi)始順序循環(huán)，同理可知若為階可逆上三角矩陣，則當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，算法即從最后一行開(kāi)始逆序循環(huán)，(b)第k步循環(huán)進(jìn)行k次乘除法，共進(jìn)行次乘除法，(c)。8． ，其中與位置互換。6． ，則是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對(duì)于對(duì)稱的對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。4． 因?yàn)榉瞧娈悾膶?duì)角元不為零，又分解等價(jià)于高斯消去法，由引理可知，矩陣的順序主子式均不為零。(b) 高斯消去法解得。14. 求的迭代公式分別為， 設(shè)迭代函數(shù)為 ，則，.15. 記迭代函數(shù) ，則，由上 ①兩邊求導(dǎo)得 則可得 對(duì)①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 對(duì)①式兩邊求二階導(dǎo)數(shù)得 則可得 所以迭代公式是三階方法，且.第七章 解線性方程組的直接方法習(xí)題參考答案 1． (a)高斯消去法解得；(b)列主元消去法解得。，則，所以，又 ，所以，因此迭代格式為線性收斂。要使 ，則，為一階收斂。11. 1) ，迭代格式發(fā)散。將上式兩邊除以，并將處泰勒展開(kāi)得 ，其中介于與之間。，即，序列單調(diào)遞減。8. 。 2) 弦截法迭代格式 。6. 將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)在附近，所以迭代格式為。4. 1) ； 2) 。 2) ，在附近，迭代公式收斂。15． 差分方程，代入得。13． 用差商逼近導(dǎo)數(shù)的方法把原邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)差分法方程組可得，解此方程組可得。(2) ，其中。11． ，代入待定系數(shù)的公式中可得系數(shù)之間的關(guān)系式為。9． 二階顯式公式為，代入得，二階隱式公式為，代入得，真解為。6．(1)近似解(2)近似解7． ，則8． (1)令，泰勒展開(kāi)可得，同理有， 代入龍格庫(kù)塔公式可得。當(dāng)時(shí)。第五章 常微分方程數(shù)值解法習(xí)題參考答案1． 尤拉法表達(dá)式，誤差，改進(jìn)尤拉法表達(dá)式，無(wú)誤差。五點(diǎn)公式：。12. 三點(diǎn)公式：。3) 對(duì)每個(gè)積分用高斯公式 ，得I＝。11. 1) 計(jì)算結(jié)果如下表k0123即積分I＝。9. ， ，所以 ＝4 ＝48728（可任選一種數(shù)值積分方法，如柯特斯公式）。7. 設(shè)將積分區(qū)間分成n等分則應(yīng)有其中，解得。5. 1) 此差值型求積公式的余項(xiàng)為由于在上恒為正，故在上存在一點(diǎn)，使所以有。2. 1) ＝ ＝ ＝ 2) 3) 4) 3. 柯特斯公式為.其中.驗(yàn)證對(duì)于，均成立，但時(shí)不成立。3) 或具有2次代數(shù)精度。第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題參考答案1. 1) 公式可對(duì)均準(zhǔn)確成立，即解得 ，具有3次代數(shù)精度。計(jì)算。，計(jì)算。判斷計(jì)算。輸入初始節(jié)點(diǎn)，權(quán)函數(shù)及正交多項(xiàng)式次數(shù)n。27. 經(jīng)驗(yàn)公式為，最小二乘法解得，運(yùn)動(dòng)方程為。25. ，其中。23. ，和差化積得證。21. 要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，誤差為，前者誤差小。20. ，時(shí)最小。（b），且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足定義，所以構(gòu)成內(nèi)積。17. ，為使均方誤差最小，則有，解得。15. ，取為的近似，誤差限為，再對(duì)冪級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行節(jié)約就可以得到原函數(shù)的3次逼近多項(xiàng)式，其誤差限為，即為所求16. 當(dāng)為上的奇函數(shù)時(shí)，設(shè)為原函數(shù)的最佳逼近多項(xiàng)式，則，對(duì)有，所以也是最佳逼近多項(xiàng)式，由最佳逼近多項(xiàng)式的唯一性，即是奇函數(shù)。由拉格朗日插值的余項(xiàng)表達(dá)公式可得出，令，則待證不等式成立，得證。12. 用的4個(gè)零點(diǎn)做插值節(jié)點(diǎn)可求得三次近似最佳逼近多項(xiàng)式為。10. ，其中。8. 切比雪夫多項(xiàng)式在上對(duì)零偏差最小，所求函數(shù)必為切比雪夫多項(xiàng)式的常數(shù)倍，解得唯一解 。6. ，故，得，故所求最佳一次逼近多項(xiàng)式為，又因?yàn)閮蓚€(gè)偏差點(diǎn)必在區(qū)間端點(diǎn)，故誤差限為。4. 設(shè)所求為，由47頁(yè)定理4可知在上至少有兩個(gè)正負(fù)交錯(cuò)的偏差點(diǎn)，恰好分別為的最大值和最小值處，故由可以解得即為所求。2. ，故，當(dāng)時(shí)。第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算習(xí)題參考答案1. (a) 區(qū)間變換公式為，代入原公式可得新區(qū)間里的伯恩斯坦多項(xiàng)式為。 }}21. 在每個(gè)小區(qū)間上為22. 則