【正文】 ③隨機(jī)事件。在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件，例如工件直徑的測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)在9．91mm與9．92ram之間，是一個(gè)隨機(jī)事件。隨機(jī)事件即是隨機(jī)現(xiàn)象的某種結(jié)果。 (2)隨機(jī)變量如果某一量（例如測(cè)量結(jié)果）在一定條件下，取某一值或在范圍內(nèi)取一個(gè)隨機(jī)事件，則這樣的量叫作隨機(jī)變量。隨機(jī)變量不同于其他變量，其特點(diǎn)是以一定的概率在一定的區(qū)間上取值或取某一個(gè)固定值。例如：工件直徑的測(cè)量結(jié)果在(9．90～9．92ram)區(qū)間上取值的概率為0．9。由前所述可知，測(cè)量結(jié)果及其不確定度均為隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量根據(jù)其取值的特征可以分為兩種： ①連續(xù)型隨機(jī)變量。若隨機(jī)變量X可在坐標(biāo)軸上某一區(qū)間內(nèi)取任一數(shù)值，即取值布滿區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。例如：重復(fù)測(cè)量中所得的一組觀測(cè)值屬于連續(xù)型隨機(jī)變量o ②離散型隨機(jī)變量。若隨機(jī)變量X的取值可離散地排列為z1，X2，…，而且X以各種確定的概率取這些不同的值，即只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。例如：在取有效數(shù)字的位數(shù)時(shí)，數(shù)字的舍入誤差屬于離散型隨機(jī)變量。 (3)事件的概率 隨機(jī)事件的特點(diǎn)是：在一次觀測(cè)或試驗(yàn)中，它可能出現(xiàn)、也可能不出現(xiàn)，但是在大量重復(fù)的觀測(cè)或試驗(yàn)中呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如：在連續(xù)咒次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了仇次，優(yōu)稱為事件的頻數(shù)，m／咒則稱為事件的相對(duì)頻數(shù)或頻率，當(dāng)咒極大時(shí)，頻率m／n穩(wěn)定地趨于某一個(gè)常數(shù)P，此常數(shù)p稱為事件A的概率，記為P(A)：P。這就是概率的古典定義。概率P是用以度量隨機(jī)事件A出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)值。必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機(jī)事件的概率P(A)為0≤P(A)≤1。所以，必然事件和不可能事件是隨機(jī)事件的兩種極端情況或特例。概率可以通過一定的法則進(jìn)行運(yùn)算。 (4)分布函數(shù) 隨機(jī)變量的特點(diǎn)是以一定的概率取值，但并不是所有的觀測(cè)或試驗(yàn)都能以一定的概率取某一個(gè)固定值。例如：重復(fù)測(cè)量某圓柱體直徑時(shí)，作為被測(cè)量最佳估計(jì)值的測(cè)量結(jié)果是隨機(jī)變量，記為X，它所取的可能值是充滿某一個(gè)區(qū)間的(并非某一個(gè)固定值)。此時(shí)人們所關(guān)心的問題是：它落在該區(qū)間的概率是多少?即根據(jù)概率加法定理有 顯然，只要求出P[X6]及P[X(a]即可，這要比求P[口≤x≤6]簡(jiǎn)便得多，因?yàn)樗鼈冎灰蕾囉谝粋€(gè)參數(shù)。 對(duì)于任何實(shí)數(shù)z，事件[xz]的概率當(dāng)然是一個(gè)z的函數(shù)。令F(z)。P EXz]，顯然有F(一∞)：0，F(xiàn)(4oo)=+1，這里F(z)即為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。所以，分布函數(shù)F(z)完全決定了事件[n≤x≤6]的概率，或者說分布函數(shù)F(z)完整地描述了隨機(jī)變量x的統(tǒng)計(jì)特性。 2．隨機(jī)變量的數(shù)字特征 利用分布函數(shù)或分布密度函數(shù)可以完全確定一個(gè)隨機(jī)變量，但在實(shí)際問題中求分布函數(shù)或分布密度函數(shù)不僅十分困難，而且常常沒有必要。例如：測(cè)量零件的長(zhǎng)度得到了一系列的觀測(cè)值，人們往往只需要知道零件長(zhǎng)度這個(gè)隨機(jī)變量的一些特征量就夠了，諸如長(zhǎng)度的平均值(近似地代表長(zhǎng)度的真值)及測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)(偏]差(觀測(cè)值對(duì)平均值的分散程度)。用一些數(shù)字來描述隨機(jī)變量的主要特征，顯然十分方便、直觀、實(shí)用，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中就稱它們?yōu)殡S機(jī)變量的數(shù)字特征。這些特征量有數(shù)學(xué)期望、方差、矩等。 (1)數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值記為E(X)或簡(jiǎn)記為段，用它可以表示隨機(jī)變量本身的大小，說明X的取值中心或在數(shù)軸上的位置，也稱期望值。數(shù)學(xué)期望表征隨機(jī)變量分布的中心位置，隨機(jī)變量圍繞著數(shù)學(xué)期望取值。數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，即為若干個(gè)測(cè)量結(jié)果或一系列觀測(cè)值的算術(shù)平均值。也就是說數(shù)學(xué)期望是一個(gè)平均的大約數(shù)值，隨機(jī)變量的所有可能值圍繞著它而變化。 ①離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)某機(jī)械加工車間有M臺(tái)機(jī)床，它們時(shí)而工作時(shí)而停頓(如為了調(diào)換刀具、零件和進(jìn)行測(cè)量等)，為了精確估計(jì)車間的電力負(fù)荷，需要知道同時(shí)工作著的機(jī)床的臺(tái)數(shù)。為此作了 N次觀察，記下諸獨(dú)立事件(所有機(jī)床都不工作，有1臺(tái)工作，有2臺(tái)工作，……，M臺(tái)都工作)的出現(xiàn)次數(shù)分別為m0，m1，…，優(yōu)M。顯然，m0十ml+…+77zM=N，則該車間同時(shí)工作的機(jī)床的平均數(shù)i為式中：cUi表示zi臺(tái)機(jī)床同時(shí)工作的頻率。當(dāng)N很大時(shí)，頻率∞i趨于穩(wěn)定而等于概率A，故有南卜所沭．本例中同時(shí)工作的機(jī)床臺(tái)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其可能值為本例中相應(yīng)的概率為，則其均值即稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值。它的一般形式為。而級(jí)數(shù)應(yīng)絕對(duì)收斂。 ②連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為收斂，根據(jù)類似的定義，則X的數(shù)學(xué)期望為式中：表示隨機(jī)變量X在任意一點(diǎn)z取值的概率。對(duì)于任意一個(gè)具有分布函數(shù)F(x)的隨機(jī)變量X而言，則有 因此，數(shù)學(xué)期望是均值這一概念在隨機(jī)變量上的推廣，它不是簡(jiǎn)單的算術(shù)平均值，而是以概率為權(quán)的加權(quán)平均值。 (2)方差 只用數(shù)學(xué)期望還不能充分描述一個(gè)隨機(jī)變量。例如：對(duì)于測(cè)量而言，數(shù)學(xué)期望可用來表示被測(cè)量本身的大小，但是關(guān)于測(cè)量的可信程度或品質(zhì)高低(比如各個(gè)測(cè)得值對(duì)數(shù)學(xué)期望的分散程度)，就要用另一個(gè)特征量——方差來表示。下面以兩種方法對(duì)某一量進(jìn)行測(cè)量所得的測(cè)量結(jié)果(列于表5—1和表5—2)為例，看一下哪種方法更為可信或品質(zhì)更高。 表5—1 按方法I所得的測(cè)量結(jié)果 測(cè)量值 2829303132偏差絕對(duì)值 012 概率 概 率 表5—2 按方法Ⅱ所得的測(cè)量結(jié)果 測(cè)量值 2829303132偏差絕對(duì)值 012 概率 概 率 我們比較兩個(gè)表中的偏差絕對(duì)值及概率，很容易看出在沒有系統(tǒng)效應(yīng)情況下，表5—1所用方法I的測(cè)量品質(zhì)比表5—2方法Ⅱ要高。同時(shí)，也可以要看出它們的數(shù)學(xué)期望卻是相等的，均為 這就意味著還需要用另一個(gè)數(shù)字特征量，即用方差來進(jìn)一步描述隨機(jī)變量的分散性或離散性。方差定義為：隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能值對(duì)其數(shù)學(xué)期望E(X)的偏差的平方的數(shù)學(xué)期望。它描述了隨機(jī)變量X對(duì)數(shù)學(xué)期望E(X)的分散程度，即①離散型隨機(jī)變量的方差對(duì)于上述的測(cè)量實(shí)例，由表中的數(shù)據(jù)可以算出方差為按測(cè)量方法I按測(cè)量方法Ⅱ 由此可知，若方差小，各測(cè)得值對(duì)其均值的分散程度就小，則在不考慮系統(tǒng)效應(yīng)情況下其測(cè)量品質(zhì)高，或更為可信、有效。 ②連續(xù)型隨機(jī)變量的方差 方差D(X)的量綱是隨機(jī)變量X量綱的平方。為了更為實(shí)用和易于理解起見，最好用與隨機(jī)變量同量綱的量來說明或表述分散性，故將方差開方取正值得 式中盯，可簡(jiǎn)記為口，稱為測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差，亦稱標(biāo)準(zhǔn)偏差或均方根偏差。 3．隨機(jī)變量的基本定理 (1)大數(shù)定理 對(duì)于自然界中的隨機(jī)現(xiàn)象，雖然不可能確切在判定它的狀態(tài)及其變化的規(guī)律性，但是由于人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，因而能夠確定某些事件的概率接近于1或0。也就是說，在一次觀測(cè)或試驗(yàn)中把概率接近于1或零的事件，分別看成是必然事件或不可能事件。 大數(shù)定律的意義就在于：以接近于1的概率來說明大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，從而在確定不變的條件下，可把隨機(jī)變量視為非隨機(jī)變量。例如：氣體的壓力等于單位時(shí)間內(nèi)撞擊在單位面積上的氣體分子的總效果，顯然氣體分子撞擊的次數(shù)及速度是隨機(jī)變量，但氣體的壓力可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。 ①切比謝夫(Tchebyshev)定理設(shè)X1，X2，…，Xn，…為互相獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，同時(shí)其數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意的￡0，恒有 習(xí)慣上稱這個(gè)大數(shù)定理為切比謝夫定理。它的實(shí)際意義在于：當(dāng)我們測(cè)量某一量時(shí)，其真值為n，進(jìn)行了咒次獨(dú)立的重復(fù)觀測(cè)，觀測(cè)值為zf(i：1～11)，那么當(dāng)咒充分大時(shí)，可以用算術(shù)平均值代替真值a，以滿足測(cè)量不確定度￡的要求。換言之，隨機(jī)變量序列{X。}依概率收斂于a。 ②貝努利定理 設(shè)在咒次獨(dú)立觀測(cè)或試驗(yàn)中，事件A的出現(xiàn)次數(shù)為m，則當(dāng)n無限增大時(shí)，頻率rn／n依概率收斂于它的概率P，即對(duì)任意的e0，恒有 這就是歷史上最早發(fā)現(xiàn)的大數(shù)定理，又稱為貝努利定理。它的實(shí)際意義在于：在觀測(cè)或試驗(yàn)的條件穩(wěn)定不變時(shí)，如果咒充分大，則可用頻率代替概率，此時(shí)頻率具有很高的穩(wěn)定性。 (2)中心極限定理 中心極限定理粗略地說就是：大量的獨(dú)立隨機(jī)變量之和，具有近似于正態(tài)的分布。例如：在測(cè)量某量時(shí)，產(chǎn)生測(cè)量不確定度的隨機(jī)因素很多，這些個(gè)別因素所引起的測(cè)量不確定度分量通常很小，但其總和(合成)卻較大。為了研究這種合成不確定度的特性，就需要知道相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)或分布密度函數(shù)的形狀及其存在條件。 由概率論可以證明：若X(i=1，2，…，n)為獨(dú)立分布的隨機(jī)變量，則其和的分布近似于正態(tài)分布，而不管個(gè)別變量的分布如何。隨著咒的增大，這種近似程度也增加。通常若X同分布，且每一X的分布與正態(tài)分布相差不甚大時(shí)，則即使n≥4，中心極限定理也能保證相當(dāng)好的近似正態(tài)性。這個(gè)結(jié)論具有重要的實(shí)際意義。 4．三種常見隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征 (1)均勻分布 被測(cè)量X服從均勻分布(矩形分布)，如圖5—1所示，試求其數(shù)學(xué)期望值amp。、方差見及標(biāo)準(zhǔn)[偏]差仃。圖5—1均勻分布現(xiàn)設(shè)其概率分布密度為f(x)，它在一a至+a區(qū)間內(nèi)為一常數(shù)，令其為K，則被測(cè)量落在一口至+a區(qū)間內(nèi)的概率應(yīng)為1，故有即得，因此概率分布為被測(cè)量的期望值為被測(cè)量的方差為(注意到(弘。=0)所以標(biāo)準(zhǔn)[偏]差為 上式即為被測(cè)量服從均勻分布時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)[偏]差與分散區(qū)間半寬之間的關(guān)系式。 在某一區(qū)間[a，a]內(nèi)，被測(cè)量值以等概率落入，而落于該區(qū)間外的概率為零，則稱被測(cè)量值服從均勻分布，通常記作U[a，a]。服從均勻分布的測(cè)量有 ①數(shù)據(jù)切尾引起的舍人不確定度； ②電子計(jì)數(shù)器的量化不確定度； ③摩擦引起的不確定度； ④數(shù)字示值的分辨力； ⑤滯后； ⑥儀器度盤與齒輪回差引起的不確定度； ⑦平衡指示器調(diào)零引起的不確定度。 在缺乏任何其他信息的情況下，一般假設(shè)為服從均勻分布。 另外，服從均勻分布的變量的正弦或余弦函數(shù)，服從反正弦分布(見圖5—2)。服從反正弦分布的測(cè)量有 ①度盤偏心引起的測(cè)角不確定度； ②正弦振動(dòng)引起的位移不確定度； ③無線電中失配引起的不確定度； ④隨時(shí)間正余弦變化的溫度不確定度。 (2)正態(tài)分布 被測(cè)量X服從正態(tài)分布(拉普拉斯一高斯分布)，如圖5—3(a)所示，試說明其分布密度函數(shù)中參數(shù)岸和盯的實(shí)際意義和分布曲線的特點(diǎn)。 正態(tài)分布的概率分布密度函數(shù)為 圖5—3正態(tài)分布 根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的定義，可以算得(通過簡(jiǎn)單的積分)：被測(cè)量的期望值肛，恰為概率分布密度函數(shù)中的參數(shù)戶，而被測(cè)量的方差見恰為概率分布密度函數(shù)中的口2，或標(biāo)準(zhǔn)[偏]差即為盯。這是正態(tài)分布的重要特點(diǎn)。對(duì)于均值為隊(duì)標(biāo)準(zhǔn)[偏]差為口的正態(tài)分布，通常記之以N(盧，叮)。對(duì)于均值為零、標(biāo)準(zhǔn)[偏]差為盯的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則記之以N(0，d)。 由圖5—3(a)可見，正態(tài)分布曲線在z=p處具有極大值，曲線不僅是單峰的，而且對(duì)z=肛直線來說是對(duì)稱的。由圖5—3(b)可見，正態(tài)分布的中心是在z=P處，P值的大小決定了曲線在z軸上的位置。由圖5—3(C)可見，在相同產(chǎn)值下，盯值愈大，曲線愈平坦，即隨機(jī)變量的分散性愈大；反之盯愈小，曲線愈尖銳(集中)，隨機(jī)變量的分散性愈小。還可以看到，正態(tài)分布曲線在z=盧177。仃處有兩個(gè)拐點(diǎn)。圖5—3(d)對(duì)兩條不同戶值和不同盯的正態(tài)分布曲線進(jìn)行了比較。 顯然，隨機(jī)變量的分布是多種多樣的，而正態(tài)分布在計(jì)量領(lǐng)域極其重要。這是因?yàn)楦怕收摰闹行臉O限定理表明，正態(tài)分布在測(cè)量應(yīng)用中具有實(shí)際意義。例如：在3～5次獨(dú)立的重復(fù)條件下，觀測(cè)值的平均值的分布是近似正態(tài)的，而不必考慮單次觀測(cè)值的分布是否為正態(tài)。 受大量、微小、獨(dú)立因素影響的連續(xù)型隨機(jī)變量，當(dāng)樣本大小咒有限時(shí)，作出以^為縱坐標(biāo)的直方圖。觀察其圖形，得到的結(jié)論是“兩頭少、中間多”，且圖形基本上呈對(duì)稱型，整個(gè)圖形與橫軸所圍的面積為1。 當(dāng)樣本大小咒充分大時(shí)，直方圖將愈呈對(duì)稱，而臺(tái)階形的折線也將趨于一條光滑曲線(見圖5—4)。這條曲線有如下四個(gè)特點(diǎn)： ①單峰性，即曲線在均值處具有極大值； ②對(duì)稱性，即曲線有一對(duì)稱軸，軸的左右兩側(cè)曲線是對(duì)稱的； ③有一水平漸近線，即曲線兩頭將無限接近于橫軸； ④在對(duì)稱軸左右兩邊曲線上離對(duì)稱軸等距離的某處，各有一個(gè)拐彎的點(diǎn)(拐點(diǎn))。 把從經(jīng)驗(yàn)中得出的直方圖上升為理論，找到具有上面四個(gè)特點(diǎn)的曲線，且曲線下的面積是i，該曲線在數(shù)學(xué)上可以由下面的函數(shù)f(x)表達(dá)出來這里廠(z)稱為概率分布密度函數(shù)，(z)所表示的曲線稱為正態(tài)分布曲線，其中p，仃(叮0)是正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)。 正態(tài)分布是人們考察自然科學(xué)和工程技術(shù)中得到的一種連續(xù)分布，是對(duì)大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)抽象的結(jié)果。例如一批機(jī)器零件毛坯的重量，在相同條件下加工出來的一批螺栓口徑大小，細(xì)紗的強(qiáng)度，同一民族同性別成年人的身體高度，射擊時(shí)中靶點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))，測(cè)量誤差等連續(xù)型隨機(jī)變量，都服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布以z=肛為其對(duì)稱軸，它是正態(tài)總體的平均值。參數(shù)仃刻劃總體的分散程度，它是總體的標(biāo)準(zhǔn)[偏]差。所以，正態(tài)分布曲線可由總體平均值∥及標(biāo)準(zhǔn)[偏]差玎確定下來。圖5—3(c)給出了∥相同，仃不同(叮=0．5，仃=1，口=1．5)的正態(tài)分布圖形。 由于肚，口能完全表達(dá)正態(tài)分布的形態(tài)，所以常用簡(jiǎn)略記號(hào)X～N(p，d)表示正態(tài)分布。當(dāng)弘=0，盯=1時(shí)，X～N(O，1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 在概率論