概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)(同名22548)-資料下載頁(yè)
2025-06-24 15:13本頁(yè)面
【正文】 ,Var(X)=。（4） 指數(shù)分布的無(wú)記憶性：若X～Exp（λ），則對(duì)任意s0,t0,有P（Xs+t|Xs）=P(Xt)。 伽瑪分布（1） 伽瑪函數(shù)：稱（）=為伽瑪函數(shù)，其中參數(shù)0。伽瑪函數(shù)具有如下性質(zhì)：① （1）=1；② （1/2）=；③ （+1）=（）；④ （n+1）=n（n）=n！（n為自然數(shù)）。（2） 伽瑪分布：若X的密度函數(shù)為即稱X服從伽瑪分布，記作X～Ga（，λ），其中0為形狀參數(shù)，λ0為尺度參數(shù)。（3） 背景：若一個(gè)元器件（或一臺(tái)設(shè)備、或一個(gè)系統(tǒng)）能抵擋一些外來(lái)沖擊，但遇到第k次沖擊時(shí)即告失效，則第k次沖擊來(lái)到的時(shí)間X（壽命）服從形狀參數(shù)為k的伽瑪分布Ga（k，λ）。（4） 伽瑪分布Ga（，λ）的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E（X）=，Var（X）=。（5） 伽瑪分布的兩個(gè)特例:① =1時(shí)的伽瑪分布就是指數(shù)分布，即Ga（1，λ）= Exp（λ）。② 稱=n/2，λ=1/2時(shí)的伽瑪分布為自由度為n的χ2（卡方）分布，記為χ2（n），其密度函數(shù)為 ，χ2（n）分布的期望和方差分別是E(X)=n，Var（X）=2n。（6） 若形狀參數(shù)為整數(shù)k，則伽瑪變量可以表示成k個(gè)獨(dú)立同分布的指數(shù)變量之和，即若X～Ga（k，λ），則X=X1+X2++Xk是相互獨(dú)立且都服從指數(shù)分布Exp（λ），的隨機(jī)變量。 貝塔分布(1) 貝塔函數(shù):稱B（a，b）=為貝塔函數(shù)，其中參數(shù)a0,b0。貝塔函數(shù)具有如下性質(zhì)：①B（a，b）= B（b，a）；②B（a，b）=。(2) 貝塔分布：若X的密度函數(shù)為， 則稱X服從貝塔分布，記作X～Be（a，b），其中a0,b0都是形狀參數(shù)。(3) 背景：很多比率，如產(chǎn)品的不合格率、機(jī)器的維修率、射擊的命中率等都是在區(qū)間（0，1）上取值的隨機(jī)變量，貝塔分布Be（a，b）可供描述這些隨機(jī)變量之用。(4) 貝塔分布Be（a，b）的數(shù)學(xué)期望和方差分別是，(5) a=b=1時(shí)的貝塔分布就是區(qū)間（0,1）上的均勻分布，即Be（1,1）=U（0,1）。常見(jiàn)連續(xù)分布表密度函數(shù)p（x）期望方差正態(tài)分布，∞x+∞均勻分布U（a，b）指數(shù)分布Exp（λ）伽瑪分布Ga（，λ）χ2（n）分布n2n貝塔分布Be（a，b）對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN(μ，σ2)x0柯西分布Cau(μ, λ),∞x+∞不存在不存在韋布爾分布Wei（m，η）P（x）=F’(x),x0第六節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為PX（x），Y=g（X）。（1） 若y=g(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)h（y）有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則Y=g（X）的密度函數(shù)為，其中a=min{g(∞), g(+∞)},b=max{g(∞), g(+∞)}。（2） 若y=g(x)在不重疊的區(qū)間I1,I2，上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)h1（y），h2（y），有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則Y=g（X）的密度函數(shù)為。 正態(tài)變量的線性變換仍為正態(tài)變量：若X 正態(tài)分布，則當(dāng)a≠0時(shí)，有Y=aX+b～N(aμ+b,a2σ2)。 對(duì)數(shù)正態(tài)分布（1） 若X的密度函數(shù)為 則稱X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，記為X～LN(μ，σ2)，其中∞μ+∞，σ0。（2） 若X～LN(μ，σ2)，則E(X)=,Var（X）=（3） 若X～LN(μ，σ2)，則 Y=ln X～N(μ，σ2) 若X～Ga（，λ），則當(dāng)k0時(shí)，有Y= kX～Ga（，λ/k）。 若X的分布函數(shù)FX(x)為嚴(yán)格單調(diào)增的連續(xù)函數(shù)，其反函數(shù)F 1X(x)存在，則Y= FX(X)服從（0,1）上的均勻分布U（0,1）。第七節(jié) 分布的其他特征數(shù) k階矩（1） 稱μk=E(Xk)為X的k階原點(diǎn)矩。一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望（2） 稱k=E(XE(X))k為X的k階中心矩。二階中心距就是方差（3） 前k階中心矩可用原點(diǎn)表示，如1=0；2=μ2μ12；3=μ33μ2μ1+2μ13；4=μ44μ3μ1+6μ2μ123μ14。 變異系數(shù)：稱比值為X的變異系數(shù)。變異系數(shù)是一個(gè)無(wú)量綱的量。 分位數(shù)：設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），密度函數(shù)為p(x)。對(duì)任意p∈（），（1） 稱滿足條件的為此分布的p分位數(shù)，又稱下側(cè)p分位數(shù)，它把密度函數(shù)下的面積一分為二，左側(cè)面積恰好為p；（2） 稱滿足條件的為此分布的上側(cè)p分位數(shù)。（3） 分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)的轉(zhuǎn)換公式：=,=。（4） 中位數(shù)：稱p=。即滿足；（5） 若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)p（x）是偶函數(shù)，則此分布的p分位數(shù)滿足：=。（6） 記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)是偶函數(shù)，所以=。（7） 一般正態(tài)分布的p分位數(shù)滿足：=μ+σ。（8） 分布的矩有可能不存在，但連續(xù)分布的分位數(shù)總存在。p分位數(shù)總是p的增函數(shù)。 偏度系數(shù)（1）稱比值
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