概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)公式大全-資料下載頁
2025-06-24 15:13本頁面
【正文】 設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n1)表示自由度為n1的t分布。設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中 表示自由度為n1的 分布。F分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，而 為來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為 ，第二自由度為 的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與 獨(dú)立。第七章 參數(shù)估計(jì)（1）點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù) ，則其分布函數(shù)可以表成 它的k階原點(diǎn)矩 中也包含了未知參數(shù) ，即 。又設(shè) 為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù) 即為參數(shù)（ ）的矩估計(jì)量。若 為 的矩估計(jì)， 為連續(xù)函數(shù)，則 為 的矩估計(jì)。極大似然估計(jì)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為 ，其中 為未知參數(shù)。又設(shè) 為總體的一個(gè)樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為 ，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) 在 處取到最大值，則稱 分別為 的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若 為 的極大似然估計(jì)， 為單調(diào)函數(shù)，則 為 的極大似然估計(jì)。（2）估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè) 為未知參數(shù) 的估計(jì)量。若E （ ）= ，則稱 為 的無偏估計(jì)量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性設(shè) 和 是未知參數(shù) 的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若 ，則稱 有效。一致性設(shè) 是 的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù) ，都有則稱 為 的一致估計(jì)量（或相合估計(jì)量）。若 為 的無偏估計(jì)，且 則 為 的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計(jì)量。（3）區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間和置信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù) 。如果我們從樣本 出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 與 ，使得區(qū)間 以 的概率包含這個(gè)待估參數(shù) ，即那么稱區(qū)間 為 的置信區(qū)間， 為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計(jì)設(shè) 為總體 的一個(gè)樣本，在置信度為 下，我們來確定 的置信區(qū)間 。具體步驟如下：（i）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度 ，查表找分位數(shù)；（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間 。已知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii) 查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間未知方差，估計(jì)均值（i）選擇樣本函數(shù)(ii)查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間方差的區(qū)間估計(jì)（i）選擇樣本函數(shù)（ii）查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出 的置信區(qū)間第八章 假設(shè)檢驗(yàn)基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中可以認(rèn)為基本上是不會(huì)發(fā)生的，即小概率原理。為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)H0是否成立。我們先假定H0是成立的。如果根據(jù)這個(gè)假定導(dǎo)致了一個(gè)不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定H0是不正確的，我們拒絕接受H0；如果由此沒有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受H0，我們稱H0是相容的。與H0相對的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用H1表示。這里所說的小概率事件就是事件 ，其概率就是檢驗(yàn)水平α，通常我們?nèi)ˇ??；静襟E假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟如下：(i) 提出零假設(shè)H0；(ii) 選擇統(tǒng)計(jì)量K；(iii) 對于檢驗(yàn)水平α查表找分位數(shù)λ；(iv) 由樣本值 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量之值K；將 進(jìn)行比較，作出判斷：當(dāng) 時(shí)否定H0，否則認(rèn)為H0相容。兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤當(dāng)H0為真時(shí)，而樣本值卻落入了否定域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)否定H0。這時(shí)，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“以真當(dāng)假”的錯(cuò)誤或第一類錯(cuò)誤，記 為犯此類錯(cuò)誤的概率，即P{否定H0|H0為真}= ；此處的α恰好為檢驗(yàn)水平。第二類錯(cuò)誤當(dāng)H1為真時(shí)，而樣本值卻落入了相容域，按照我們規(guī)定的檢驗(yàn)法則，應(yīng)當(dāng)接受H0。這時(shí)，我們把客觀上H0。不成立判為H0成立（即接受了不真實(shí)的假設(shè)），稱這種錯(cuò)誤為“以假當(dāng)真”的錯(cuò)誤或第二類錯(cuò)誤，記 為犯此類錯(cuò)誤的概率，即P{接受H0|H1為真}= 。兩類錯(cuò)誤的關(guān)系人們當(dāng)然希望犯兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)都很小。但是，當(dāng)容量n一定時(shí)， 變小，則 變大；相反地， 變小，則 變大。取定 要想使 變小，則必須增加樣本容量。在實(shí)際使用時(shí)，通常人們只能控制犯第一類錯(cuò)誤的概率，即給定顯著性水平α。α大小的選取應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況而定。當(dāng)我們寧可“以假為真”、而不愿“以真當(dāng)假”時(shí)，則應(yīng)把α取得很小。反之，則應(yīng)把α取得大些。單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)條件零假設(shè)統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)樣本函數(shù)分布否定域已知N（0，1）未知未知
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