第三講函數(shù)的基本性質(zhì)-資料下載頁
2025-06-24 08:14本頁面
【正文】 m+］,當(dāng)m∈M時，m1,∴(x－m)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域為R。反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x2－4mx+4m2+m+0。令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+)＜0，解得m1，故m∈M。(2)解析：設(shè)u=x2－4mx+4m2+m+，∵y=log3u是增函數(shù)，∴當(dāng)u最小時，f(x)最小。而u=(x－2m)2+m+，顯然，當(dāng)x=m時，u取最小值為m+，此時f(2m)=log3(m+)為最小值。(3)證明：當(dāng)m∈M時，m+=(m－1)+ +1≥3，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立?！鄉(xiāng)og3(m+)≥log33=1。點評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行處理。題型七：周期問題例13．若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對稱，則f(x)的一個周期為（ ）A． B． C． D．解：因為y=f(2x)關(guān)于對稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b－2x)，所以f(2b－2x)=f(2x)，所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。所以f(2x)的一個周期為2b－2a，故知f(x)的一個周期為4(b－a)。選項為D。點評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對稱（a≠b），則這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（b－a）。例14．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。①證明：；②求的解析式；③求在上的解析式。解：∵是以為周期的周期函數(shù)，∴，又∵是奇函數(shù)，∴，∴。②當(dāng)時，由題意可設(shè)，由得，∴，∴。③∵是奇函數(shù)，∴，又知在上是一次函數(shù)，∴可設(shè)，而，∴，∴當(dāng)時，從而當(dāng)時，故時?！喈?dāng)時，有，∴。當(dāng)時，∴∴。點評：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。五．思維總結(jié)1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(x)= 177。f(x)243。f(x) f(x)=0；2．對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(x)=f(x)和f(x)=f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x)，f(x)=f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(ax)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映；3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；4．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集。6．單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運用定義或求導(dǎo)解決。歡迎下載
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