高一數(shù)學(xué)函數(shù)的基本性質(zhì)-資料下載頁(yè)
2025-01-07 11:54本頁(yè)面
【正文】 ] 上的圖象如 圖所示 ， 則不等式 f ? x ?g ? x ? ＜ 0 的解集為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析： 當(dāng) x ∈ [0 ， π] 時(shí)， 不等式f ? x ?g ? x ?＜ 0 的解集為 x ∈ (π3， π ) ． 又 y ＝ f ( x ) 是偶函數(shù)， y ＝ g ( x ) 是奇函數(shù)， 所以f ? x ?g ? x ?是 [ － π ， π] 上的奇函數(shù) ． ∴ 當(dāng) x ∈ [ － π ， 0] 時(shí)， 不等式f ? x ?g ? x ?＜ 0 的解集為 x ∈ ( －π3， 0 ) ． 綜上，不等式f ? x ?g ? x ?＜ 0 的解集為 ( －π3， 0 ) ∪ (π3， π ) ． 答案： ( －π3， 0 ) ∪ (π3， π ) 8 ． 對(duì)于函數(shù) f ( x ) ＝ax ＋ 1x － 1( 其中 a 為實(shí)數(shù) ， x ≠ 1 ) ， 給出下列命題 ： ① 當(dāng) a ＝ 1 時(shí) ， f ( x ) 在定義域上為單調(diào)函數(shù) ； ② f ( x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( 1 ， a ) 對(duì)稱(chēng) ； ③ 對(duì)任意 a∈ R ， f ( x ) 都不是奇函數(shù) ； ④ 當(dāng) a ＝－ 1 時(shí) ， f ( x ) 為偶函數(shù) ； ⑤ 當(dāng) a ＝ 2 時(shí) ， 對(duì)于滿(mǎn)足條件 2 x 1 x 2的所有 x 1 、 x 2 總有 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) 3 ( x 2 － x 1 ) ． 其中正確命題的序號(hào)為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析： ① 當(dāng) a ＝ 1 時(shí)， f ( x ) ＝x ＋ 1x － 1的定義域?yàn)?( － ∞ ， 1 ) ∪ ( 1 ，＋ ∞ ) ，又 f ( x ) ＝ 1 ＋2x － 1，函數(shù)的兩個(gè)遞減區(qū)間分別為 ( － ∞ ， 1 ) 、 ( 1 ，＋ ∞ ) ，命題 ① 錯(cuò)誤； ② f ( 2 － x ) ＝a ? 2 － x ?＋ 1? 2 － x ?－ 1＝－a ? 2 － 2 x ?＋ ax ＋ 1x － 1 ＝ 2 a －ax ＋ 1x － 1＝ 2 a － f ( x ) ， ∴ f ( x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( 1 ， a ) 對(duì)稱(chēng)，命題 ② 正確； 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 ③∵ f ( 0 ) ＝－ 1 ，因此 f ( x ) 不是奇函數(shù)， ③ 是正確命題； ④ 當(dāng) a ＝－ 1 時(shí)， f ( x ) ＝－ x ＋ 1x － 1＝－ 1 ( x ≠ 1 ) 因此 f ( x ) 不是偶函數(shù)，命題 ④ 不正確； ⑤ 當(dāng) 2 x1 x2， a ＝ 2 時(shí)， f ( x1) － f ( x2) ＝2 x1＋ 1x1－ 1－2 x2＋ 1x2－ 1 ＝? 2 x1x2＋ x2－ 2 x1－ 1 ? － ? 2 x1x2＋ x1－ 2 x2－ 1 ?? x1－ 1 ?? x2－ 1 ? ＝3 ? x2－ x1?? x1－ 1 ?? x2－ 1 ? 又 x1－ 1 1 ， x2－ 1 1 ，則 ( x1－ 1 )( x2－ 1 ) 1 ， 因此 f ( x1) － f ( x2) 3 ( x2－ x1) ，命題 ⑤ 正確 ． 答案： ②③⑤ 三 、 解答題 9． 已知函數(shù) f(x)＝ x2＋ (x≠0)． (1)判斷 f(x)的奇偶性 ， 并說(shuō)明理由； (2)若 f(1)＝ 2， 試判斷 f(x)在 [2， ＋ ∞)上的單調(diào)性 解： ( 1 ) 當(dāng) a ＝ 0 時(shí) ， f ( x ) ＝ x2， f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 函數(shù)是偶函數(shù) ． 當(dāng) a ≠ 0 時(shí) ， f ( x ) ＝ x2＋ax( x ≠ 0 ， 常數(shù) a ∈ R ) ， 取 x ＝ 177。1 ， 得 f ( － 1 ) ＋ f ( 1 ) ＝ 2 ≠ 0 ； f ( － 1 ) － f ( 1 ) ＝－ 2 a ≠ 0 ， ∴ f ( － 1 ) ≠ － f ( 1 ) ， f ( － 1 ) ≠ f ( 1 ) ． ∴ 函數(shù) f ( x ) 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) ． ( 2 ) 若 f ( 1 ) ＝ 2 ， 即 1 ＋ a ＝ 2 ， 解得 a ＝ 1 ， 這時(shí) f ( x ) ＝ x2＋1x. 任取 x 1 ， x 2 ∈ [ 2 ，＋ ∞ ) ， 且 x 1 x 2 ， 則 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ ( x 12＋1x 1) － ( x 22＋1x 2) ＝ ( x 1 ＋ x 2 )( x 1 － x 2 ) ＋x 2 － x 1x 1 x 2＝ ( x 1 － x 2 )( x 1 ＋ x 2 －1x 1 x 2) ． 由于 x 1 ≥ 2 ， x 2 ≥ 2 ， 且 x 1 x 2 ， ∴ x 1 － x 2 0 ， x 1 ＋ x 2 1x 1 x 2， 所以 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x ) 在 [ 2 ，＋ ∞ ) 上是單調(diào)遞增函數(shù) ． 10．設(shè) f(x)， g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng) x＜ 0時(shí)， f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)＞ 0且g(－ 3)＝ 0，則不等式 f(x)g(x)＜ 0的解集為 ( A ) (A)(－ ∞，－ 3)∪ (0,3) (B)(－ 3,0)∪ (0,3) (C)(－ ∞，－ 3)∪ (3，＋ ∞) (D)(－ 3,0)∪ (3，＋ ∞) 解析： ∵ (f(x)g(x))′＝ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)＞ 0 ∴ f(x)g(x)在 x＜ 0上單調(diào)遞增， 又 f(x)， g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)， ∴ f(x)g(x)在 R上是奇函數(shù)，且在 x＞ 0上單調(diào)遞增， 又 f(3)g(3)＝ f(－ 3)g(－ 3)＝ 0， ∴ f(x)g(x)＜ 0的解集為 (－ ∞，－ 3)∪ (0,3)．故選 A. 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理
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