電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析學(xué)生版-資料下載頁
2025-06-24 03:27本頁面
【正文】 答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有，把時(shí)諧電磁波的電場和磁場方程：代入麥?zhǔn)戏匠探M 消去共同因子后得 在此注意一點(diǎn)。在的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于，因而，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。 取第一式旋度并用第二式得 由，上式變?yōu)?此為亥姆霍茲方程。1 設(shè)是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢和標(biāo)勢，現(xiàn)引入一矢量函數(shù)（赫茲矢量），若令證明：滿足洛倫茲規(guī)范，故有 計(jì)算題：真空中有一半徑為接地導(dǎo)體球，距球心為 處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷來代替球面上感應(yīng)電荷對空間電場的作用。由對稱性，應(yīng)在連線上。關(guān)鍵是能否選擇的大小和位置使得球面上的條件使得滿足？ 考慮到球面上任一點(diǎn)P。邊界條件要求 式中r為Q到P的距離，因此對球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有 由圖可看出，只要選的位置使 設(shè)距球心為b，兩三角形相似的條件為由（1）和（2）式求出 （3）和（4）式確定假想電荷的位置和大小。 由和鏡象電荷激發(fā)的總電場能夠滿足在導(dǎo)體面上的邊界條件，因此是空間中電場的正確解答。球外任一點(diǎn)p的電勢是： 式中r為由到P點(diǎn)的距離，為由到P點(diǎn)的距離，R為由球心O到P點(diǎn)的距離，電荷Q均勻分布于半徑為a 的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場的散度。 解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當(dāng)球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得 因而 寫成矢量式得 若則球面所圍電荷為： 應(yīng)用高斯定理得：由此得 現(xiàn)在計(jì)算電場的散度。當(dāng)E應(yīng)取式，在這區(qū)域，由直接計(jì)算可得 因而 當(dāng)E應(yīng)取式，由直接計(jì)算得 靜止長度為的車廂，以速度相對于地面S運(yùn)行，車廂的后壁以速度為向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：S系的觀察者看到長度為的車廂以運(yùn)動(dòng)，又看到小球以追趕車廂。小球從后壁到前壁所需的時(shí)間為：1內(nèi)外半徑分別為a和b的球形電容器，加上的電壓，且不大，故電場分布和靜態(tài)情形相同，計(jì)算介質(zhì)中位移電流密度及穿過半徑R的球面的總位移電流。解：位移電流密度為：穿過半徑R的球面的總位移電流為：1設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度為，它們以相同速率相對于某一參考系運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上測量另一根尺的長度。解：系觀察到的速度 測得的尺子長度是 運(yùn)動(dòng)尺的收縮，只與相對運(yùn)動(dòng)的速度的絕對值有關(guān)，測得的尺子長度也是 。1設(shè)有一隨時(shí)間變化的電場，試求它在電導(dǎo)率為，介電常數(shù)為的導(dǎo)體中，引起的傳導(dǎo)電流和位移電流振幅之比，從而討論在什么情況下，傳導(dǎo)電流起主要作用，什么情況下位移電流其主要作用。解：可知傳導(dǎo)電流為：，位移電流為：。當(dāng)時(shí)，傳導(dǎo)電流起主要作用；當(dāng)時(shí)，位移電流起主要作用。已知矢勢 ，求 ，若 ， 是否對應(yīng)同一電磁場。解：2矢勢，其中為常數(shù)，它們對應(yīng)著同一磁場，因此，求式中的標(biāo)量函數(shù)。解：19
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