電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題分析學(xué)生版(參考版)
2025-06-27 03:27本頁(yè)面
【正文】 解：2矢勢(shì)，其中為常數(shù)，它們對(duì)應(yīng)著同一磁場(chǎng)，因此，求式中的標(biāo)量函數(shù)。當(dāng)時(shí)，傳導(dǎo)電流起主要作用；當(dāng)時(shí)，位移電流起主要作用。1設(shè)有一隨時(shí)間變化的電場(chǎng)，試求它在電導(dǎo)率為，介電常數(shù)為的導(dǎo)體中，引起的傳導(dǎo)電流和位移電流振幅之比，從而討論在什么情況下，傳導(dǎo)電流起主要作用，什么情況下位移電流其主要作用。解：位移電流密度為：穿過半徑R的球面的總位移電流為：1設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長(zhǎng)度為，它們以相同速率相對(duì)于某一參考系運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上測(cè)量另一根尺的長(zhǎng)度。解：S系的觀察者看到長(zhǎng)度為的車廂以運(yùn)動(dòng)，又看到小球以追趕車廂。當(dāng)球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得 因而 寫成矢量式得 若則球面所圍電荷為： 應(yīng)用高斯定理得：由此得 現(xiàn)在計(jì)算電場(chǎng)的散度。 解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。 由和鏡象電荷激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿足在導(dǎo)體面上的邊界條件，因此是空間中電場(chǎng)的正確解答。關(guān)鍵是能否選擇的大小和位置使得球面上的條件使得滿足？ 考慮到球面上任一點(diǎn)P。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷來代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用。 取第一式旋度并用第二式得 由，上式變?yōu)?此為亥姆霍茲方程。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。可以用矢量形式表示為： 式中t為沿著矩形長(zhǎng)邊的界面切線方向單位矢量。因?yàn)椋餮鬲M長(zhǎng)矩形的E的路徑積分。這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程。答：麥克斯韋方程組 表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)又可以激發(fā)磁場(chǎng)，因此，自然可以推論電磁場(chǎng)可以互相激發(fā)，形成電磁波。于是得到靜電勢(shì)滿足的基本微分方程，即泊松方程。 試由靜電場(chǎng)方程證明泊松方程。 答：已知恒定磁場(chǎng)方程（在均勻線性介質(zhì)內(nèi)），把得矢勢(shì)A的微分方程 由矢量分析公式 若取A滿足規(guī)范條件 ，得矢勢(shì)A的微分方程 試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系證：電場(chǎng)的邊值關(guān)系為：，式可寫為 式中為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。由此，由這定義，只有兩點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒有物理意義的。把單位正電荷由電場(chǎng)E對(duì)它所作的功為： 這功定義為的電勢(shì)差。 試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系答：由于靜電場(chǎng)的無旋性，得： 設(shè)為由的兩條不同路徑。由于物體對(duì)靜止，所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻沒有任何限制。在上點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，兩端分別經(jīng)過和的時(shí)刻為。若物體后端經(jīng)過點(diǎn)（第一事件）與前端經(jīng)過點(diǎn)（第二事件）相對(duì)于同時(shí)，則定義為上測(cè)得的物體長(zhǎng)度。答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。即得證。得：，該式表示矢量是無旋場(chǎng)，因此它可以用標(biāo)勢(shì)描述。因此在一般情況下，電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)，它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來描述。試由電磁場(chǎng)方程證明一般情況下電場(chǎng)的表示式證：在一般的變化情況中，電場(chǎng)E的特性與靜電場(chǎng)不同。答：麥克斯韋方程組積分式為：麥克斯韋方程組微分式為：依據(jù)的試驗(yàn)定律為：靜電場(chǎng)的高斯定理、靜電場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理、磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)的高斯定理。②計(jì)算公
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