【正文】 獻[41]中的定理 2.定理 中的 取),(,1,)(1)()(xfgr nxfknfkw????? )(h作 的反函數(shù)， 為嚴格單調(diào)函數(shù)，則 為單調(diào)增長序列或單調(diào)衰減序)(xf)(xf X列時， 是強化緩沖算子，這便是文獻)()(15 kxfnfknhdk????[41]中的定理 3.推論 中的 時)((kxf?是強化緩沖算子,這便是文獻[47]中的定理 4.)()(6kxndkx??推論 中的 ,)(1(),)( nxknxkw?????時，則 為單調(diào)增長序列或單調(diào)衰減序列時xgxhr??)(,1X， 是強化緩沖算子,這便是文獻[47]中的定理 5.)(1)(7 knkdk????推論 取定理 中的 ,)(1)()(,( kxnxkxw?????，則 是強化緩沖算子。這便是10,???r )(1)()(8nxdkx?????文獻[49]中的定理 4. 結 語本文將緩沖算子的構造與函數(shù)聯(lián)系起來，構造了一類新的實用強化緩沖算子。由于只要求函數(shù)為單調(diào)（遞增或遞減）而非嚴格單調(diào)函數(shù)，這樣的函數(shù)隨手可得，一次可以構造一大類緩沖算子，為解決擾動數(shù)據(jù)序列的建模提供了很多選第 5 章 一類新的緩沖算子的構造及緩沖算子新定理22擇，有一定的實用價值。 緩沖算子新定理定理 為一強化緩沖算子， 為系統(tǒng)原始行D(1),2,()Xxxn??為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為 ， 均為單調(diào)函數(shù)，并(1),2xdd? fg具有相同的單調(diào)性，且滿足 ， ，(gfk,k?，其中 ,則無論 為單調(diào)增長序111(),2,()Xxdxnd?? 1)[)]gfx?X列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列， 均為強化緩沖算子。D證明： 顯然滿足緩沖算子公理 2 和公理 3。1D設 均為單調(diào)遞增函數(shù)，,fg（1）當 為單調(diào)增長序列時，則X()()()xkixn??? ?因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f，()()()fxkfif?? ?因為 為一強化緩沖算子，所以D，fdfxidfxnd?? ?且()(),12?? ()()f?因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（公理 4） ，[][][]fxkgfigf?? ?且()(),dxkn? ()[()]xdgfxn即 且 （公理 1）12gf?? f?故 對單調(diào)增長序列為強化緩沖算子。1D（2）當 為單調(diào)衰減序列，則 ，X()()()xkixn??? ?因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f，()()()fxkfif? ?因為 為一強化緩沖算子，所以D，()()()fxkdfxidfxnd??? ?且,12?? ()f?因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g（公理 4） ，[()][()][()]fgfigf? ?第 5 章 一類新的緩沖算子的構造及緩沖算子新定理23且[()][()],12gfxkdgfxkn??? [()][()]gfxdgfxn?即 且 （公理 1）?故 對單調(diào)衰減序列為強化緩沖算子。1D（3）當 為振蕩序列時，設X， ，??()max()1,2kn??? ??()min()1,2xxkn???同理于（1） ， （2）的證明， 滿足公理 1 和公理 4，故 為緩沖算子。DD因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以 也為振蕩序列，且f (),2fk?， ()ax()1,2fkn??? ()in()1,2fxfxkn????因為 為一強化緩沖算子，所以D，()fdfx??fdf?因為 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以g，[()][]fxgf[()][()]gfxgfx??即 ，(()f故 對振蕩序列為強化緩沖算子。1D同理可證，當 均為單調(diào)遞減函數(shù)時，無論 為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰,fgX減序列還是振蕩序列， 均為強化緩沖算子。1定理 設 為一弱化緩沖算子， 為系統(tǒng)原始行(1),2,()xxn??為數(shù)據(jù)序列，其緩沖序列為 ， 均為單調(diào)函數(shù)，并(),2XDxdnd?? fg具有相同的單調(diào)性，且滿足 ， ，(gfk,k?，其中 則無論 為單調(diào)增長序222(1),()XDxdxn?? 2)[()]gfxX列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列， 均為弱化緩沖算子。上述性質(zhì)的證明過程與性質(zhì)1的證明類似, 略。作者將緩沖算子的構造與函數(shù)聯(lián)系起來，構造了一類新的實用緩沖算子。由于只要求函數(shù)為單調(diào)（遞增或遞減） ，這樣的函數(shù)隨手可得，已有的任何一個緩沖算子（無論強化還是弱化）都可以得到一大類緩沖算子，為解決擾動數(shù)據(jù)序列的建模提供了很多選擇，有一定的實用價值。第 6 章 結論與展望24第 6 章 結論與展望 全文總結本選題研究的對象是 GM(1,1)預測和緩沖算子的構造。通過對 GM(1,1)模型的優(yōu)化，拓廣其應用范圍,同時提高了精度。通過分析現(xiàn)有緩沖算子的不足，構建一類強化緩沖算子,擴大了此類強化緩沖算子的范圍，并研究了緩沖算子的新定理，為沖擊擾動序列建模的數(shù)據(jù)處理提供了更多的選擇。主要做了以下工作：（1）通過對不用一次累加而直接建模的等間距 GM(1,1)模型的灰色微分方程中的灰導數(shù)進行優(yōu)化，提出了用 （其中 ） ，(0)(ztAxtC??， (1)0lnxkA???代替原始灰色微分方程中的灰導數(shù)，同時用 代替原始灰色微分方程中的背()k景值 ，得到新的灰色微分方程 ，從而獲得新模型，經(jīng)過(1)zk baxz?)0(嚴格理論驗證該模型具有指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)重合性。大量的數(shù)據(jù)模擬和模型比較結果表明，優(yōu)化后的模型提高了背景值的準確性以及灰預測模型的擬合精度和預測精度，且該模型既適合于低增長指數(shù)序列建模，也適合于高增長指數(shù)序列建模，同時也適合于非齊指數(shù)序列建模，可見新的建模方法大大提高了模型的模擬精度與預測精度，同時擴大了模型的適用范圍。（2）基于完全沿用等間距一次累加的原始非等間距模型精度不盡人意，但各種改進非等間距模型一次累加表達式復雜、計算繁瑣這一基本事實，依據(jù)各種非等間距預測表達式都具有數(shù)據(jù)預測序列是時序指標的齊次指數(shù)函數(shù)的共同特征，提出不涉及非等間距的一次累加表達式，更無需其計算值，直接建立非等間距灰色微分方程，同時優(yōu)化其灰導數(shù)，用序列擬合誤差平方和最小來尋求最佳初始條件，獲得了模擬預測精度較高的非等間距灰色預測模型。（3）文獻[41] 將緩沖算子的構造與函數(shù)結合起來，為緩沖算子的構造開辟了新方向，文獻[49] 對緩沖算子公理進行了補充，并構造了變權緩沖算子。本選題在他們的工作的基礎上，構造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。（4）在現(xiàn)有灰色系統(tǒng)緩沖算子公理體系下，本文得到了以下結果：設 為一D強化（或弱化）緩沖算子， 為系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列，其(1),2,()Xxxn??緩沖序列為 ， 均為單調(diào)函數(shù)，并具有相同的單調(diào)性，(1),2XDxdnd?? fg第 6 章 結論與展望25且滿足 ， ， ，其中()(gfxk?1,2kn? 111(),2,()XDxdxnd??,則無論 為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列還是振蕩序列， 1)[]xkdd均為強化（或弱化）緩沖算子。 D 研究展望由于本人對灰色系統(tǒng)理論的研究尚淺，對灰系統(tǒng)理論中一些看法還不夠成熟，所做的工作中還有很多需要改進的地方，但筆者相信已具有發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力，在今后的學習生活及工作，筆者會繼續(xù)對灰色系統(tǒng)理論的研究，爭取做出成績，目前看來，筆者認為有以下幾個方面可以進行研究：(1）進一步深入研究灰模型的適用范圍(2)由于 GM(1,1)模型的優(yōu)化只有更優(yōu),沒有最優(yōu),將繼續(xù)分析模型誤差產(chǎn)生的原因，并研究 GM(1,1)模型的優(yōu)化.(3)將對緩沖算子的選用上以及從理論上研究通過緩沖算子作用以后能否從根本上提高模型精度進行研究(4)由于目前灰數(shù)的運算不具有可逆性,將從理論上在這方面做些工作.參考文獻26參 考 文 獻[1] 鄧聚龍(2022). 灰預測與灰決策[M].武漢:華中科技大學出版社.[2] 劉思峰,黨耀國,[M].北京:科學出版社,2022.[3] 羅黨,劉思峰,黨耀國(2022). 灰色模型 GM(1 ,1) 優(yōu)化[J] . 中國工程科學, 2022 (8) : 50 53.[4] 王正新,黨耀國,劉思峰(2022). 基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的 GM(1,1)模型[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐,2: 61~67.[5] 王義鬧, 劉開第, 李應川(2022). 優(yōu)化灰導數(shù)白化值的 GM(1,1) 建模法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐,21(5):124128.[6] 劉思峰,鄧聚龍(2022).GM(1,1) 模型的適應范圍[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐,20(5):121124.[7] 薛煥斌,魏勇(2022). 基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的 GM(1,1)模型的再優(yōu)化[J]. 數(shù)學實踐與認識, (1): 242246.[8] 穆勇. 具有白指數(shù)律重合性的 GM（1，1）模型[J]. 數(shù)學的實踐與認識，（1）：1519.[9] 謝乃明,劉思峰. 離散 GM(1, 1)模型與灰色預測模型建模機理[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2022, (1): 9398.[10] Naiming Xie, Sifeng Liu. 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