【正文】 一個(gè)數(shù)被2（或 5）除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被2（或5）除得的余數(shù)一個(gè)數(shù)被4（或 25）除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被4（或 25）除得的余數(shù)一個(gè)數(shù)被8（或125）除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被8（或125）除得的余數(shù)二、能被9整除的數(shù)的數(shù)字特性:能被3（或9）整除的數(shù)，各位數(shù)字和能被3（或9）整除。 一個(gè)數(shù)被3（或9）除得的余數(shù)，就是其各位相加后被3（或9）除得的余數(shù)。三、能被11整除的數(shù)的數(shù)字特性：能被11整除的數(shù)，這個(gè)數(shù)奇數(shù)位的和與偶數(shù)位的和之差是11的倍數(shù)倍數(shù)關(guān)系核心判定特征數(shù)的整除性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、乙兩數(shù)相等。(2)傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。(3) 若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。(4) 幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因子能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。(5) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。(6) 若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。(7) 若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。數(shù)的整除特征：一個(gè)數(shù)要想被另一個(gè)數(shù)整除，該數(shù)需含有對(duì)方所具有的質(zhì)數(shù)因子。(1)1與0的特性： 1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。(2)若一個(gè)整數(shù)的末位是0、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。 (3)若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3（9）整除，則這個(gè)整數(shù)能被3（9）整除。 (4)若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4（25）整除，則這個(gè)數(shù)能被4（25）整除。 (5)若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。 (6)若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。 (7)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。(8)若一個(gè)整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8（125）整除，則這個(gè)數(shù)能被8（125）整除。 (9)若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。 (10)若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。（不夠減時(shí)依次加11直至夠減為止）。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的(割尾法)處理，過(guò)程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1。 (11)若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。 (12)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。 一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除，只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（11或13）整除。另法：將一個(gè)多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7（11或13）整除，則原多位數(shù)也被7（11或13）整除。(13)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。(14)若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。 (15)若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。 (16)若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。 (17)若一個(gè)整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除?！纠?】（山東200412）某次測(cè)驗(yàn)有50道判斷題，每做對(duì)一題得3分，不做或做錯(cuò)一題倒扣1分，某學(xué)生共得82分，問(wèn)答對(duì)題數(shù)和答錯(cuò)題數(shù)（包括不做）相差多少？（ ） 【例2】（北京社招200511）兩個(gè)數(shù)的差是2345，兩數(shù)相除的商是8，求這兩個(gè)數(shù)之和？( ) 【例3】（北京社招2005－23）用一根繩子測(cè)井臺(tái)到水面的深度，把繩對(duì)折后垂到井水面，繩子超過(guò)井臺(tái)9米，把繩子三折后垂到井水面，繩子超過(guò)井臺(tái)2米，繩子長(zhǎng)多少米？（ ） 【例4】（江蘇2006B－76）在招考公務(wù)員中，A、B兩崗位共有32個(gè)男生，18個(gè)女生報(bào)考。已知報(bào)考A崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為5:3。報(bào)考B崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1，報(bào)考A崗位的女生人數(shù)是？ 【例5】（云南2005－13；安徽2008－7）一個(gè)袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占。后來(lái)又往袋子里放了10個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的，問(wèn)原來(lái)袋子里有球多少個(gè)？( ) 【例6】（浙江200317）某城市共有四個(gè)區(qū)，甲區(qū)人口數(shù)是全城的，乙區(qū)的人口數(shù)是甲區(qū)的，丙區(qū)人口數(shù)是前兩區(qū)人口數(shù)的，丁區(qū)比丙區(qū)多4000人，全城共有人口多少萬(wàn)？（ ） 【例7】（國(guó)家2009－109）已知甲、乙兩人共有260本書，其中甲的書有13%是專業(yè)書，%是專業(yè)書，問(wèn)甲有多少本非專業(yè)書？A75　 B87 C174　 D67【例8】（浙江200524）一只木箱內(nèi)有白色乒乓球和黃色乒乓球若干個(gè)。小明一次取出5個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作N次后，白球拿完了，黃球還剩8個(gè)；如果換一種取法：每次取出7個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作M次后，黃球拿完了，白球還剩24個(gè)。問(wèn)原 木箱內(nèi)共有乒乓球多少個(gè)? （ ） 【例9】（國(guó)家2002B14）一個(gè)長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)是32米，長(zhǎng)是寬的3倍，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？ 【例10】（國(guó)家2002B8）若干學(xué)生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒(méi)地方住，如果每間住8人則有一間只有4人住，問(wèn)共有多少名學(xué)生？（ ） 【例11】（北京應(yīng)屆200618）商店里有六箱貨物,分別重111131千克,兩個(gè)顧客買走了其中五箱。已知一個(gè)顧客買的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍。商店剩下的一箱貨物重多少千克?( ) 【例12】（天津2007－7）一單位組織員工乘車去泰山，要求每輛車上的員工數(shù)相等。起初，每輛車22人，結(jié)果有一人無(wú)法上車。如果開走一輛車，那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各輛車上，已知每輛最多乘坐32人，請(qǐng)問(wèn)單位有多少人去了泰山? A．269 B．352 C．478 D．529【例13】（國(guó)家2007－46）某高校2006年度畢業(yè)學(xué)生7650名，比上年度增長(zhǎng)2%，其中本科畢業(yè)生比上年度減少2%，而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10%，那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：（ ）A．3920人 B．4410人 C．4900人 D．5490人【例14】小明從家騎車去學(xué)校，原計(jì)劃用5小時(shí)30分，由于途中有18/5千米的道路不平，走這段路時(shí)的速度相當(dāng)于原計(jì)劃的3/4，因此晚到了12分鐘，問(wèn)小明家距學(xué)校多少千米？（ ） 【例15】（四川2008－10）四個(gè)學(xué)生恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，他們年齡相乘等于93024，則最大的多少歲？ 第一章 計(jì)算問(wèn)題第一節(jié) 基本運(yùn)算法湊整法一般包括以下三種：加/減法湊整法：通過(guò)交換運(yùn)算次序，把可以通過(guò)加/減法得到較整的數(shù)先進(jìn)行運(yùn)算。乘/除法湊整法：通過(guò)交換運(yùn)算次序，把可以通過(guò)乘/除法得到較整的數(shù)先進(jìn)行運(yùn)算。參照湊整法：將一個(gè)數(shù)看成與之接近的另外一個(gè)較整的數(shù)來(lái)計(jì)算，然后進(jìn)行修正的方法?！纠?】（國(guó)家2002B09；湖南2006－41）的值是（ ） 【例2】（國(guó)家2002B10；天津2008－6）3999＋899＋49＋8＋7的值是（ ） 第二節(jié) 選項(xiàng)估算法尾數(shù)估算法：區(qū)分選項(xiàng)不同的尾數(shù)，從而估算出結(jié)果的方法?！纠?】（四川2008—6）2362+7681482的值為（ ）A．33462 B．33568 C．34560 D．34664【例2】（國(guó)家2002A類—1B類—1北京應(yīng)屆2005—11）+++（ ）A. B. C. D. 【練1】（浙江2007B類—11）+=（）A． B． C． D．【練2】（國(guó)家2005二類—38）173173173162162162=（ ） 第三節(jié) 典型模型法乘方尾數(shù)問(wèn)題核心口訣：（1）底數(shù)留個(gè)位（2）指數(shù)除以4留余數(shù)（余數(shù)為0則看作4）除0、6四個(gè)尾數(shù)不變的數(shù)之外，其余皆可使用以上口訣，無(wú)需考慮周期為2或者4。【例1】（國(guó)家2004A類—38）99+1919+9999的個(gè)位數(shù)字是（ ） 【例2】（浙江2007A類—11）12007+32007+52007+72007+92007的值的個(gè)位數(shù)是（ ） B. 6 C. 8 【練1】（國(guó)家2005一類—38）19991998的末尾數(shù)字是（ ） 【練2】（廣東2008—7）22008+32008的尾數(shù)是（ ） B. 3 C. 5 【練3】 （19951995+19961996+19971997+19981998）2008的值的個(gè)位數(shù)是（ ） B. 3 C. 6 幾個(gè)裂項(xiàng)相加的展開形式1. 2． 3．4. 總公式：（其中的“大”“小”指的是分母寫成兩數(shù)相成形式后，最大和最小的那個(gè)成數(shù)；“分子”是指題目中所給的分子；“分母兩數(shù)之差”是指把分母中本來(lái)相乘的兩個(gè)數(shù)做減法的差值）【例1】（廣州2005—7）計(jì)算1/（12）+ 1/（23 ）+1/（34）+???+1/（20042005）的值為（ ） 【例2】 3/（25）+3/（58）＋ 3/（811）+ ???+3/（2932 ）的值是（ ） 【例3】2/（16 ）+2/（611）+ 2/（1116）+ ???+2/（101106）的值是（ ） 【練1】（江蘇2006A類—9）1/（23）+1/（34）+ 1/（45）+ ???+1/（99100）的值為（ ）A. 1/2 B. 99/10 C. 49/100 D. 51/100【練2】（浙江2008—12）1/42+1/56+1/72+1/90+1/110 的值是（ ）【練3】（浙江2006—32）1/3+1/15+1/35+1/63+1/99+1/143+1/195+1/255 的值是（ ）所謂“整體消去法”，指在計(jì)算中，將相近的數(shù)化為相同，從而作為一個(gè)整體進(jìn)行抵消的方法?！纠?】（廣東2004上—13）1996199719971996－1996199619971997的值是（ ） 【例2】（北京應(yīng)屆2007—24）（873477－198）247。(476874＋199）的值是（ ） 【例3】（北京應(yīng)屆2008—22）（1+1/2+1/3+1/4）（1/2+1/3+1/4+1/5）－（1+1/2+1/3+1/4+1/5）（1/2+1/3+1/4）的值是（ ） 【練1】（國(guó)家2004B類—37）1994200219932003的值是（ ） 【練2】（國(guó)家2005二類—36）2004（47+）247。（）的值為（ ）。 【練3】（江西2008—36）（1+1/2+1/3）（1/2+1/3+1/4）—（1+1/2+1/3+1/4）（1/2+1/3）＝（ ） 在比較復(fù)雜的計(jì)算中，將過(guò)程中的數(shù)字進(jìn)行“分組”計(jì)算，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程?！纠?】（江蘇2008C類—11）2008＋2007－2006－2005＋2004＋2003－2002－2001＋…＋4＋3－2－1＝（ ） 【例2】（江蘇2006C類—6）（12345＋51234＋23451＋45123＋34512）247。5的值等于（ ） 【練1】（國(guó)家1999—31）12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102的值為（ ） B.－55 D.－50【練2】（山西2009—96）2020－1919＋1818－1717＋＋22－11的值是（ ） 【練3】（北京社招2006—12）1234＋3142＋4321＋2413的值等于（ ） 乘法分配核心理念：在計(jì)算中，通過(guò)“提取公因式”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算?！纠?】(江蘇2006A類—7）231597＋403769＋597769＋231403＝（ ） 105 106 【例2】（江蘇2006B類—69）已知13＋23＋33＋43＋53＋63＝441，則：23＋43＋63＋83＋103＋123的值是（ ） 【例3】（國(guó)家2004A類—3國(guó)家2004B類—36）200220032003200320022002的值是（ ）。 【練1】（國(guó)家2004A類—36）2500++51（