線面、面面平行的判定與性質(zhì)隨堂練習(xí)含答案-資料下載頁
2025-06-23 03:24本頁面
【正文】 C′、C′D′的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，如圖所示．(1)求證：AD′∥平面EFG；(2)求證：A′C⊥平面EFG；(3)判斷點(diǎn)A、D′、H、F是否共面，并說明理由．[解析] (1)證明：連結(jié)BC′.在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.所以四邊形ABC′D′是平行四邊形．所以AD′∥BC′.因?yàn)镕、G分別是BB′、B′C′的中點(diǎn)，所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.因?yàn)镋F、AD′是異面直線，所以AD′?平面EFG.因?yàn)镕G?平面EFG，所以AD′∥平面EFG.(2)證明：連結(jié)B′C.在正方體ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′?平面BCC′B′，所以A′B′⊥BC′.在正方體BCC′B′中，B′C⊥BC′，因?yàn)锳′B′?平面A′B′C，B′C′?平面A′B′C，A′B′∩B′C′＝B′，所以BC′⊥平面A′B′C.因?yàn)锳′C?平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.因?yàn)镕G∥BC′，所以A′C⊥FG.同理可證：A′C⊥EF.因?yàn)镋F?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EF∩FG＝F，所以A′C⊥平面EFG.(3)點(diǎn)A、D′、H、F不共面．理由如下：假設(shè)A、D′、H、F共面．連結(jié)C′F、AF、HF.由(1)知，AD′∥BC′，因?yàn)锽C′?平面BCC′B′，AD′?平面BCC′B′.所以AD′∥平面BCC′B′.因?yàn)镃′∈D′H，所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.因?yàn)锳D′?平面AD′HF，所以AD′∥C′F.所以C′F∥BC′，而C′F與BC′相交，矛盾．所以A，D′、H、F點(diǎn)不共面．1．設(shè)m、l是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是( )A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m[答案] B[解析] 兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故選B.2.如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60176。，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，點(diǎn)E在PD上，且PE:ED＝2:1.(1)證明：PA⊥平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？如果存在，請求出此時PFFC的值；如果不存在，請說明理由．[解析] (1)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC＝60176。，所以AB＝AD＝AC＝a.在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.(2)連結(jié)BD，則平面PBD與平面AEC的交線為EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，則BM∥平面AEC，在△PCE中過M作MF∥CE交PC于F，則MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F(xiàn)點(diǎn)即為所求的滿足條件的點(diǎn)．由條件O為BD的中點(diǎn)可知，E為MD的中點(diǎn)．又由PE:ED＝2:1，∴M為PE的中點(diǎn)，又FM∥CE，故F是PC的中點(diǎn)，∴此時PF:FC＝1.3．如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；(2)求證：CF⊥平面BDE.[證明] (1)設(shè)AC∩BD＝G，在正方形ABCD中，AB＝，∴AC＝2，又∵EF＝1，AG＝AC＝1，又∵EF∥AG，∴四邊形AGEF為平行四邊形，∴AF∥EG，∵EG?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)連結(jié)FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1且CE＝1，∴四邊形CEFG為菱形，∴EG⊥CF.∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD.又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又∵BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.
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