【正文】 r=nk ,且m≥3 ；糾錯(cuò)能力：t=1 ； 碼率： 由于碼率，故當(dāng)很大和很小時(shí)，碼率接近1，可見：漢明碼是一種高效碼。漢明碼是一個(gè)錯(cuò)誤校驗(yàn)碼碼集，因此定名為漢明碼。當(dāng)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)或移動(dòng)數(shù)據(jù)時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生數(shù)據(jù)位錯(cuò)誤，這時(shí)可以利用漢明碼來(lái)檢測(cè)并糾錯(cuò)。漢明碼作為第一個(gè)設(shè)計(jì)用來(lái)糾錯(cuò)的線性分組碼，可以檢出兩位錯(cuò)，并糾正一位錯(cuò)的糾錯(cuò)碼。二進(jìn)制漢明碼和k服從以下規(guī)律[4]： () 式中m=nk，當(dāng)m=3,4,5……時(shí)，有(7,4),(15,11),(31,26)……漢明碼。漢明碼是完備碼，它滿足下式： ()同時(shí)漢明碼也是一種多重（復(fù)式）奇偶檢錯(cuò)系統(tǒng)，可以將信息用邏輯形式編碼，以便能夠檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。用在漢明碼中的全部傳輸碼字是由原來(lái)的信息和附加的奇偶監(jiān)督位所組成的。每一個(gè)這種奇偶位被編在傳輸碼字的特定比特位置上。實(shí)現(xiàn)合適時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)對(duì)于錯(cuò)誤的數(shù)位無(wú)論是原有信息位中的，還是附加監(jiān)督位中的都能把它分離出來(lái)。在原編碼的基礎(chǔ)上附加一部分代碼，使其滿足糾錯(cuò)碼的條件，受其抗干擾能力較強(qiáng)，所以至今仍是應(yīng)用比較廣泛的一類碼[56]。漢明碼也利用了奇偶校驗(yàn)位的概念，通過(guò)在數(shù)據(jù)位后面增加一些比特，可以驗(yàn)證數(shù)據(jù)的有效性。利用一個(gè)以上的校驗(yàn)位，漢明碼不僅可以驗(yàn)證數(shù)據(jù)是否有效，還能在數(shù)據(jù)出錯(cuò)的情況下指明錯(cuò)誤的位置。在接受端通過(guò)糾錯(cuò)譯碼自動(dòng)糾正傳輸中的差錯(cuò)來(lái)實(shí)現(xiàn)碼糾錯(cuò)功能，稱為前向糾錯(cuò)FEC。在數(shù)據(jù)鏈路中存在大量噪音時(shí)，F(xiàn)EC可以增加數(shù)據(jù)吞吐量。通過(guò)在傳輸碼列中加入冗余位(也稱糾錯(cuò)位)可以實(shí)現(xiàn)前向糾錯(cuò)。但這種方法比簡(jiǎn)單重傳協(xié)議的成本要高。漢明碼利用奇偶?jí)K機(jī)制也降低了前向糾錯(cuò)的成本。 漢明碼的監(jiān)督矩陣H編譯漢明碼還需要漢明碼的監(jiān)督矩陣H(parity—check matrix)。只要監(jiān)督矩陣H給定，編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了。通過(guò)式（）所示的（7，4）漢明碼的監(jiān)督方程可以改寫為[8]：6⊕5⊕4⊕2=06⊕5⊕3⊕1=0 6⊕4⊕3⊕0=0 ()相當(dāng)于用矩陣的形式可以將上式表示為： 1 1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 1 01 0 1 1 0 0 1?a6a5a4a3a2a1a0=000 ()并簡(jiǎn)記為：或 ()其中，H成為監(jiān)督矩陣，只要H給定，信息位和監(jiān)督位的關(guān)系也就隨即確定下來(lái)了。H的行數(shù)就是監(jiān)督矩陣的數(shù)目，等于監(jiān)督數(shù)目r。H的每一行中的“1”的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān)督關(guān)系。H序列可分為兩部分： （）其中P為階矩陣，為階單位陣。因?yàn)?，所以可以用這個(gè)關(guān)系式來(lái)作為判斷接收碼字是否出錯(cuò)的依據(jù)。若，則說(shuō)明碼字有錯(cuò)，反之則說(shuō)明碼字無(wú)錯(cuò)。 漢明碼的生成矩陣G。由代數(shù)理論可知，H監(jiān)督矩陣的的各行應(yīng)該是線性無(wú)關(guān)的，否則將得不到r個(gè)線性無(wú)關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，從而也得不到r個(gè)獨(dú)立的監(jiān)督位。若一矩陣可以寫成的矩陣形式，則其各行一定是線性無(wú)關(guān)的。若將式（）的監(jiān)督方程補(bǔ)充完整并寫成矩陣的形式：（ (）即：A=G[]=GM （）G成為生成矩陣，：由G和信息碼M就能產(chǎn)生所有碼字。生成矩陣也可分為兩部分，即 （）上式中 （） Q為階矩陣，為k階單位陣。 漢明碼的校正子（伴隨式）S設(shè)一發(fā)送碼組。在傳輸?shù)倪^(guò)程中受到干擾可能發(fā)生誤碼，接受碼組與發(fā)送碼組A不一定相同。設(shè)接受碼組為，收發(fā)碼組之差定義為錯(cuò)誤圖樣E。E=BA ()其中， , () ()因此，若,表示該接收碼元無(wú)錯(cuò)；若,則表示該接收碼元有錯(cuò)。式()可以改寫為 B=A+E ()若E=0，即接收碼組無(wú)錯(cuò),則B=A+E=A，將B帶入公式仍成立。即有。 當(dāng)接收碼組有錯(cuò)時(shí)，E≠0，將B帶入公式則不定成立。需要校正子S。令,稱為校正子（伴隨式）。 ()可見：校正子S與錯(cuò)誤圖樣E之間由確定的線性變換關(guān)系。校正子S與有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，的關(guān)系S2=a6⊕a5⊕a4⊕a2 , S1=a6⊕a5⊕a3⊕a1 , S0=a6⊕a4⊕a3⊕a0，則S能代表錯(cuò)碼位置[11]。（7，4）漢明碼的校正子和錯(cuò)誤圖樣之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表42所示。表42 (7,4)漢明碼S與E對(duì)應(yīng)關(guān)系（糾正譯碼表）錯(cuò)誤碼位錯(cuò)誤圖樣E校正子S錯(cuò)誤位置C 0 0 0 0 0 0 10 0 100 0 0 0 0 1 00 1 010 0 0 0 1 0 01 0 020 0 0 1 0 0 00 1 130 0 1 0 0 0 01 0 140 1 0 0 0 0 01 1 051 0 0 0 0 0 01 1 16無(wú)錯(cuò)0 0 0 0 0 0 00 0 07由表42可知：當(dāng)S=001時(shí)，則出錯(cuò)在0 位，即 出錯(cuò)；當(dāng)S=010時(shí)，則出錯(cuò)在1 位，即 出錯(cuò)；當(dāng)S=100時(shí)，則出錯(cuò)在2 位，即 出錯(cuò)；當(dāng)S=011時(shí)，則出錯(cuò)在3 位，即 出錯(cuò)；當(dāng)S=101時(shí)，則出錯(cuò)在4 位，即 出錯(cuò)；當(dāng)S=110時(shí)，則出錯(cuò)在5 位，即 出錯(cuò)；當(dāng)S=111時(shí)，則出錯(cuò)在6 位，即 出錯(cuò)；當(dāng)S=000時(shí)，則無(wú)錯(cuò)。 漢明碼的譯碼器設(shè)計(jì)(7,4)漢明碼的譯碼器的功能就是把輸入的7 位漢明碼B=[] 譯為4位信息碼，并且根據(jù)伴隨矩陣S 從而糾正編碼中可能出現(xiàn)的1 位錯(cuò)碼。根據(jù)監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G的關(guān)系，即：H = [ ] ，其中是的單位陣，G = [ ] ，其中 是的單位陣， ()生成矩陣 ?? = 由式，得監(jiān)督矩陣? ? ? 由式（）知，其中從而即可得到校正子S與（7，4）漢明碼各位之間的關(guān)系： S2=a6⊕a5⊕a4⊕a2S1=a6⊕a5⊕a3⊕a1 （）[ ] S0=a6⊕a4⊕a3⊕a0 算出校正子S（）后，對(duì)照表42，即可判斷出哪位出錯(cuò)，并根據(jù)取反把錯(cuò)位碼糾正，從而輸出正確的碼字。綜上所述，漢明碼譯碼的步驟為：(1)首先對(duì)已給出的譯碼輸入碼的信息碼元值,根據(jù)公式S2=a6⊕a5⊕a4⊕a2， S1=a6⊕a5⊕a3⊕a1 , S0=a6⊕a4⊕a3⊕a0，求出校正子S（）的值。(2)判斷校正子是否為0，如果為0，說(shuō)明這次的譯碼輸入碼沒(méi)有錯(cuò)誤；如果不為0，說(shuō)明這次的譯碼漢明碼有錯(cuò)誤碼，則根據(jù)表42來(lái)判斷找出哪個(gè)碼位是錯(cuò)位碼。(3)對(duì)找出的錯(cuò)位碼進(jìn)行取反，得到正確的輸入碼，最后輸出它的正確的碼字。 譯碼器的流程圖設(shè)計(jì)輸入7位信息碼元開始結(jié)束根據(jù)輸入的碼元和監(jiān)督矩陣計(jì)算出校驗(yàn)子根據(jù)校正子糾錯(cuò)譯碼表找出哪一位出錯(cuò)輸出4位譯碼結(jié)果判斷校正子（s2,s1,s0）是否為0是否把錯(cuò)位取反改正過(guò)來(lái)圖42 漢明碼譯碼器流程圖 譯碼器的代碼設(shè)計(jì)（7，4）漢明碼譯碼器的譯碼程序如下：module yima(data_in, data_out, jiaozhengzi, cuomawei)。 //漢明碼的輸入輸出參數(shù)有data_in, data_out, jiaozhengzi, cuomawei；input[6:0] data_in。 //輸入?yún)?shù)data_in。output [3:0] data_out。 //輸出參數(shù)data_out。output [2:0] jiaozhengzi,cuomawei。//輸出參數(shù)jiaozhengzi,cuomawei。reg [3:0] data_out。 //寄存器變量存放輸出的數(shù)據(jù)；reg [6:0] a。 //寄存器變量存放輸入的數(shù)據(jù)；reg [2:0] s。 //寄存器變量存放校正子的值；reg [2:0] cuomawei,jiaozhengzi。//寄存器變量存放錯(cuò)碼位，校正子的值；always @(data_in)begina=data_in。 //將輸入的碼字付給寄存器變量a；s[2]=data_in[6]+data_in[5]+data_in[4]+data_in[2]。//計(jì)算s[2]的值；s[1]=data_in[6]+data_in[5]+data_in[3]+data_in[1]。//計(jì)算s[1]的值；s[0]=data_in[6]+data_in[4]+data_in[3]+data_in[0]。//計(jì)算s[0]的值if(s==339。b000) //在s[2:0]的值為000時(shí)；begindata_out[3:0]=data_in[6:3]。//輸入的碼字的高四位付給輸出參cuomawei=339。b111。//參數(shù)cuomawei取值為111；endelsecase(s) 339。b001:cuomawei=339。b000。//s為001時(shí)cuomawei取值為000；339。b010:cuomawei=339。b001。//s為010時(shí)cuomawei取值為001；339。b100:cuomawei=339。b010。//s為011時(shí)cuomawei取值為010；339。b011:cuomawei=339。b011。//s為011時(shí)cuomawei取值為011；339。b101:cuomawei=339。b100。//s為011時(shí)cuomawei取值為100；339。b110:cuomawei=339。b101。//s為110時(shí)cuomawei取值為101；339。b111:cuomawei=339。b110。//s為110時(shí)cuomawei取值為110； endcase case(s) 339。b001:a[0]=~a[0]。//s為001時(shí)a[0]取反； 339。b010:a[1]=~a[1]。//s為010時(shí)a[1]取反； 339。b100:a[2]=~a[2]。//s為100時(shí)a[2]取反； 339。b011:a[3]=~a[3]。//s為011時(shí)a[3]取反； 339。b101:a[4]=~a[4]。//s為101時(shí)a[4]取反； 339。b110:a[5]=~a[5]。//s為110時(shí)a[5]取反； 339。b111:a[6]=~a[6