九年級上冊數(shù)學競賽試題及答案-資料下載頁
2025-06-22 18:19本頁面
【正文】 延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30176。．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）求弦BD的長；（3）求圖中陰影部分的面積．【考點】切線的判定；垂徑定理的應用；扇形面積的計算．【分析】（1）連接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四邊形ABDC為平行四邊形，則∠A=∠D=30176。，由圓周角定理可知∠COB=2∠D=60176。，由內(nèi)角和定理可求∠OCA=90176。，證明切線；（2）利用（1）中的切線的性質和垂徑定理以及解直角三角形來求BD的長度；（3）證明△OEB≌△CED，將陰影部分面積問題轉化為求扇形OBC的面積．【解答】（1）證明：連接OC，OC交BD于E，∵∠CDB=30176。，∴∠COB=2∠CDB=60176。，∵∠CDB=∠OBD，∴CD∥AB，又∵AC∥BD，∴四邊形ABDC為平行四邊形，∴∠A=∠D=30176。，∴∠OCA=180176。﹣∠A﹣∠COB=90176。，即OC⊥AC又∵OC是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD，∴BE=DE，∵在直角△BEO中，∠OBD=30176。，OB=6，∴BE=OBcos30176。=3，∴BD=2BE=6；（3）解：易證△OEB≌△CED，∴S陰影=S扇形BOC∴S陰影==6π．答：陰影部分的面積是6π． 19．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。，AB=AC，B（3，5），拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點C，D兩點，且經(jīng)過點B．（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線上是否存在點F，使得△ACF的面積等于5，若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由；（3）點M（4，k）在拋物線上，連接CM，求出在坐標軸的點P，使得△PCM是以∠PCM為頂角以CM為腰的等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）利用△ACF的面積等于5直接建立方程求出F點的縱坐標，代入拋物線解析式解方程即可；（3）先求出CM=3，再分點P在x軸和y軸上，用CM=CP求出點P的坐標．【解答】（1）∵B（3，5），∴OA=3，AB=5，∵AB=AC，∴OC=AC﹣OA=5﹣3=2，即點C的坐標是（﹣2，0），∵點C（﹣2，0）和點B（3，5）在拋物線y=﹣x2+bx+c上∴將其代入得，∴，∴拋物線的表達式是y=﹣x2+x+5，（2）假設拋物線上存在點F使得S△ACF=5，則設點F的坐標是（a，b）∵AC|b|=5，∴5|b|=5，解得b=177。2，將F（a，2）和F（a，﹣2）分別代入y=﹣x2+x+5中得﹣a2+a+5=2，﹣a2+a+5=﹣2解得a1= a2= a3= a4=所以符合條件的點F有四個，它們分別是F1（，2），F(xiàn)2（，2），F(xiàn)3（，﹣2）F4（，﹣2），（3）點M（4，k）在拋物線y=﹣x2+x+5的圖象上，∴k=3，∴M（4，3），∵C（﹣2，0），∴CM=3①當點P在x軸上時，設P（p，0），∴CP=|p+2|，∵△PCM是以∠PCM為頂角以CM為腰的等腰三角形．∴CM=CP，∴|p+2|=3，∴p=﹣2177。3，∴P1（﹣3﹣2，0）P2 （3﹣2，0），②當點P在y軸上時，設P（0，h），∴PC==3，∴h=177。，∴P3（0，） P4（0，﹣）．符合條件的P點有四個，它們分別是P1（﹣3﹣2，0）P2 （3﹣2，0），P3（0，） P4（0，﹣）． 2016年9月19日
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