有窮無窮遞增遞減數(shù)列知識(shí)點(diǎn)練習(xí)題-資料下載頁
2025-06-22 07:53本頁面
【正文】 因?yàn)椋?所以，即，從而，即，因?yàn)?，所以，?dāng)n=k+1時(shí)，成立，由①，②知。（Ⅲ）證明：因?yàn)椋╪≥2），所以只要證明，由（Ⅱ）知，所以只要證明，即證明，令，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；因?yàn)?，所以，即成立，故，所以?shù)列單調(diào)遞減。例題10*.已知An（an，bn）（n∈N*）是曲線y=ex上的點(diǎn)，a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足：，n=2，3，4，…（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；（Ⅱ）確定a的取值集合M，使a∈M時(shí)，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；（Ⅲ）證明當(dāng)a∈M時(shí)，弦AnAn+1（n∈N*）的斜率隨n單調(diào)遞增。解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由已知得，因?yàn)椋?…………①于是， …………②由②①得， …………③于是， …………④由④③得， …………⑤所以(n≥2)是常數(shù)列。（Ⅱ）由①有，由③有，而⑤表明：數(shù)列分別是以aa3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列對(duì)任意的k∈N*成立，即所求a的取值集合是。（Ⅲ）弦，任取x0，設(shè)函數(shù)，記，當(dāng)上為增函數(shù)，當(dāng)上為減函數(shù)，所以，從而f′（x）＞0，所以f（x）在上都是增函數(shù)；由（Ⅱ）知，當(dāng)a∈M時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，??；??；所以的斜率隨n單調(diào)遞增。
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