【正文】 A′=[r0+(r1c1－i1s1)+(r2c2－i2s2)+(r3c3－i3s3)]+j[i0+(i1c1+r1s1)+(i2c2+r2s2)+(i3c3+r3s3)]? （4）B′=[r0+(i1c1+r1s1）－（r2c2－i2s2）－（i3c3+r3s3)]+j[i0－（r1c1－i1s1）－（i2c2+r2s2)+(r3c3－i3s3)] (5）C′=[r0－（r1c1－i1s1)+(r2c2－i2s2）－（r3c3－i3s3)]+j[i0－（i1c1+r1s1)+(i2c2+r2s2）－（i3c3+r3s3)] （6）D′=[r0－（i1c1+r1s1）－（r2c2－i2s2)+(i3c3+r3s3)]+j[i0+(r1c1－i1s1）－（i2c2+r2s2）－（r3c3－i3s3)]? （7）而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均為1，這樣，將A，B，C和D的表達(dá)式代入圖2中的基2運(yùn)算的四個(gè)等式中，則有：A′=r0+(r1c1－i1s1)+j[i0+(i1c1+r1s1)]? （8）B′=r0－ (r1c1－i1s1)+j[i0－（i1c1+r1s1)] （9）C′=r2+(r3c3－i3s3)+j[i0+(i3c3+r3s3)]? （10）D′=r2－（r3c3－i3s3)+j[i0－（i3c3+r3s3)]? （11）在上述式（4）～（11）中有很多類同項(xiàng)，如i1c1+r1s1和r1c1－i1s1等，它們僅僅是加減號(hào)的不同，其結(jié)構(gòu)和運(yùn)算均類似，這就為簡(jiǎn)化電路提供了可能。同時(shí)，在蝶形運(yùn)算中，復(fù)數(shù)乘法可以由實(shí)數(shù)乘法以一定的格式來表示，這也為設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)乘法器提供了一種實(shí)現(xiàn)的途徑。以基4為例，在其運(yùn)算單元中，實(shí)際上只需做三個(gè)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，即只須計(jì)算BWkCWk2和DWk3的值即可，這樣在一個(gè)基4蝶形單元里面，最多只需要3個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可以了。在實(shí)際過程中，在不提高時(shí)鐘頻率下，只要將時(shí)序控制好?便可利用流水線（Pipeline）技術(shù)并只用一個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可完成這三個(gè)復(fù)數(shù)乘法，大大節(jié)省了硬件資源。圖2 基2和基4蝶形算法的信號(hào)流圖FFT的地址FFT變換后輸出的結(jié)果通常為一特定的倒序。因此，幾級(jí)變換后對(duì)地址的控制必須準(zhǔn)確無誤。倒序的規(guī)律是和分解的方式密切相關(guān)的，以基8為例，其基本倒序規(guī)則如下：基8可以用222三級(jí)基2變換來表示，則其輸入順序則可用二進(jìn)制序列（n1 n2 n3）來表示，變換結(jié)束后，其順序?qū)⒆優(yōu)椋╪3 n2 n1），如：X?011　→ x?110　，即輸入順序?yàn)?，輸出時(shí)順序變?yōu)?。更進(jìn)一步，對(duì)于基16的變換，可由2222，44，422等形式來構(gòu)成，相對(duì)于不同的分解形式，往往會(huì)有不同的倒序方式。以44為例，其輸入順序可以用二進(jìn)制序列（n1 n2 n3n4）來表示變換結(jié)束后，其順序可變?yōu)椋ǎ╪3 n4）（n1 n2）），如：X?0111　→ x?1101　。即輸入順序?yàn)?，輸出時(shí)順序變?yōu)?3。在2k/4k/8k的傅里葉變換中，由于要經(jīng)過多次的基4和基2運(yùn)算，因此，從每次運(yùn)算完成后到進(jìn)入下一次運(yùn)算前，應(yīng)對(duì)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行倒序，以保證運(yùn)算的正確性。旋轉(zhuǎn)因子N點(diǎn)傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)因子有著明顯的周期性和對(duì)稱性。其周期性表現(xiàn)為：FFT之所以可使運(yùn)算效率得到提高，就是利用了對(duì)稱性和周期性把長(zhǎng)序列的DFT逐級(jí)分解成幾個(gè)序列的DFT，并最終以短點(diǎn)數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)變換。根據(jù)旋轉(zhuǎn)因子的對(duì)稱性和周期性，在利用ROM存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子時(shí)，可以只存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子表的一部分，而在讀出時(shí)增加讀出地址及符號(hào)的控制，這樣可以正確實(shí)現(xiàn)FFT。因此，充分利用旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)，可節(jié)省70%以上存儲(chǔ)單元。實(shí)際上，由于旋轉(zhuǎn)因子可分解為正、余弦函數(shù)的組合，故ROM中存的值為正、余弦函數(shù)值的組合。對(duì)2k/4k/8k的傅里葉變換來說，只是對(duì)一個(gè)周期進(jìn)行不同的分割。由于8k變換的旋轉(zhuǎn)因子包括了2k/4k的所有因子，因此，實(shí)現(xiàn)時(shí)只要對(duì)讀ROM的地址進(jìn)行控制，即可實(shí)現(xiàn)2k/4k/8k變換的通用。存儲(chǔ)器控制因FFT是為時(shí)序電路而設(shè)計(jì)的，因此，控制信號(hào)要包括時(shí)序的控制信號(hào)及存儲(chǔ)器的讀寫地址，并產(chǎn)生各種輔助的指示信號(hào)。同時(shí)在計(jì)算模塊的內(nèi)部，為保證高速，所有的乘法器都須始終保持較高的利用率。這意味著在每一個(gè)時(shí)鐘來臨時(shí)都要向這些單元輸入新的操作數(shù)，而這一切都需要控制信號(hào)的緊密配合。為了實(shí)現(xiàn)FFT的流形運(yùn)算，在運(yùn)算的同時(shí)，存儲(chǔ)器也要接收數(shù)據(jù)。這可以采用乒乓RAM的方法來完成。這種方式?jīng)Q定了實(shí)現(xiàn)FFT運(yùn)算的最大時(shí)間。對(duì)于4k操作，其接收時(shí)間為4096個(gè)數(shù)據(jù)周期,這樣FFT的最大運(yùn)算時(shí)間就是4096個(gè)數(shù)據(jù)周期。另外，由于輸入數(shù)據(jù)是以一定的時(shí)鐘為周期依次輸入的，故在進(jìn)行內(nèi)部運(yùn)算時(shí)，可以用較高的內(nèi)部時(shí)鐘進(jìn)行運(yùn)算，然后再存入RAM依次輸出。為節(jié)省資源，可對(duì)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)RAM采用原址讀出原址寫入的方法，即在進(jìn)行下一級(jí)變換的同時(shí)，首先應(yīng)將結(jié)果回寫到讀出數(shù)據(jù)的RAM存貯器中；而對(duì)于ROM，則應(yīng)采用與運(yùn)算的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)的方法來讀出存儲(chǔ)器中旋轉(zhuǎn)因子的值。在2k/4k/8k傅里葉變換中，要實(shí)現(xiàn)通用性，控制器是最主要的模塊。2k、4k、8k變換具有不同的內(nèi)部運(yùn)算時(shí)間和存儲(chǔ)器地址，在設(shè)計(jì)中，針對(duì)不同的點(diǎn)數(shù)應(yīng)設(shè)計(jì)不同的存儲(chǔ)器存取地址，同時(shí)，在完成變換后，還要對(duì)開始輸出有用信號(hào)的時(shí)刻進(jìn)行指示。硬件選擇本設(shè)計(jì)的硬件實(shí)現(xiàn)選用的是現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列（FPGA）來滿足較高速度的需要。本系統(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)選用的是ALTERA公司的STRATIX芯片，該芯片中包含有DSP單元，可以完成較為耗費(fèi)資源的乘法器單元。同時(shí)，該器件也包含有大量存儲(chǔ)單元，從而可保證旋轉(zhuǎn)因子的精度。除了一些專用引腳外，F(xiàn)PGA上幾乎所有的引腳均可供用戶使用，這使得FPGA信號(hào)處理方案具有非常好的I/O帶寬。大量的I/O引腳和多塊存儲(chǔ)器可使設(shè)計(jì)獲得優(yōu)越的并行處理性能。其獨(dú)立的存儲(chǔ)塊可作為輸入/工作存儲(chǔ)區(qū)和結(jié)果的緩存區(qū)，這使得I/O可與FFT計(jì)算同時(shí)進(jìn)行。在實(shí)現(xiàn)的時(shí)間方面，該設(shè)計(jì)能在4096個(gè)時(shí)鐘周期內(nèi)完成一個(gè)4096點(diǎn)的FFT。若采用10MHz的輸入時(shí)鐘，其變換時(shí)間在200μs左右。而由于最新的FPGA使用了MultiTrack互連技術(shù)，故可在250MHz以下頻率穩(wěn)定地工作，同時(shí)，F(xiàn)FT的實(shí)現(xiàn)時(shí)間也可以大大縮小。FFT運(yùn)算結(jié)果的精度與輸入數(shù)據(jù)的位數(shù)及運(yùn)算過程中的位數(shù)有關(guān)，同時(shí)和數(shù)據(jù)的表示形式也有很大關(guān)系。一般來說，浮點(diǎn)方式比定點(diǎn)方式精度高。而在定點(diǎn)計(jì)算中，存儲(chǔ)器數(shù)據(jù)的位數(shù)越大，運(yùn)算精度越高，使用的存儲(chǔ)單元和邏輯單元也越多。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況折衷選擇精度和資源。本設(shè)計(jì)通過MATLAB進(jìn)行仿真證明：其實(shí)現(xiàn)的變換結(jié)果與MATLAB工具箱中的FFT函數(shù)相比，信噪比可以達(dá)到65db以上，完全可以滿足一般工程的實(shí)際應(yīng)用要求。