【正文】 )　　MPK＝eq \f(L(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \f(L2,(K＋L)2)由最優(yōu)要素組合的均衡條件eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(PL,PK)，可得　　eq \f(K2/(K＋L)2,L2/(K＋L)2)＝eq \f(PL,PK)整理得　　eq \f(K2,L2)＝eq \f(PL,PK)即廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程為　　K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq \f(1,2)L(c)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL2?！　PL＝2KL　　MPK＝L2由最優(yōu)要素組合的均衡條件eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(PL,PK)，可得　　eq \f(2KL,L2)＝eq \f(PL,PK)即廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程為　　K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L(d)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝min(3L， K)。由于該函數(shù)是固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)，即廠商的生產(chǎn)總有3L＝K，所以，直接可以得到廠商長期生產(chǎn)的擴(kuò)展線方程為K＝3L。(2)(a)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)。當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴(kuò)展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2PL,PK)))L得　　K＝2L代入生產(chǎn)函數(shù)Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)得　　5Leq \f(1,3)(2L)eq \f(2,3)＝1 000于是，有L＝eq \f(200,\r(3,4))，K＝eq \f(400,\r(3,4))。(b)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝eq \f(KL,K＋L)。當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴(kuò)展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq \f(1,2)L得　　K＝L代入生產(chǎn)函數(shù)Q＝eq \f(KL,K＋L)，得　　eq \f(L2,L＋L)＝1 000于是，有L＝2 000，K＝2 000。(c)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL2。當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴(kuò)展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L得　　K＝eq \f(1,2)L代入生產(chǎn)函數(shù)Q＝KL2，得　　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))L2＝1 000于是，有L＝10eq \r(3,2)，K＝5eq \r(3,2)。(d)關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)Q＝min{3L， K}。當(dāng)PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，將其擴(kuò)展線方程K＝3L，代入生產(chǎn)函數(shù)，得　　K＝3L＝1 000于是，有K＝1 000，L＝eq \f(1 000,3)。11. 已知生產(chǎn)函數(shù)Q＝AL1/3K2/3。判斷：(1)在長期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報酬屬于哪一種類型？(2)在短期生產(chǎn)中，該生產(chǎn)函數(shù)是否受邊際報酬遞減規(guī)律的支配？解答：(1)因為Q＝f(L，K)＝ALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)， 于是有　　f(λL，λK)＝A(λL)eq \f(1,3)(λK)eq \f(2,3)＝Aλeq \f(1,3)＋eq \f(2,3)Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λf(L，K)所以，生產(chǎn)函數(shù)Q＝ALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)屬于規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)。(2)假定在短期生產(chǎn)中，資本投入量不變，以eq \o(K,\s\up6(－))表示；而勞動投入量可變，以L表示。對于生產(chǎn)函數(shù)Q＝ALeq \f(1,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)，有　　MPL＝eq \f(1,3)AL－eq \f(2,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)且　　　eq \f(dMPL,dL)＝－eq \f(2,9)AL－eq \f(5,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)＜0這表明：在短期資本投入量不變的前提下，隨著一種可變要素勞動投入量的增加，勞動的邊際產(chǎn)量MPL是遞減的。類似地，假定在短期生產(chǎn)中，勞動投入量不變，以eq \o(L,\s\up6(－))表示；而資本投入量可變，以K表示。對于生產(chǎn)函數(shù)Q＝Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)Keq \f(2,3)，有　　MPK＝eq \f(2,3)Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)K－eq \f(1,3)且　　　eq \f(dMPK,dK)＝－eq \f(2,9)Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)K－eq \f(4,3)＜0這表明：在短期勞動投入量不變的前提下，隨著一種可變要素資本投入量的增加，資本的邊際產(chǎn)量MPK是遞減的。以上的推導(dǎo)過程表明該生產(chǎn)函數(shù)在短期生產(chǎn)中受邊際報酬遞減規(guī)律的支配。12. 令生產(chǎn)函數(shù)f(L，K)＝α0＋α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。(1)當(dāng)滿足什么條件時，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征。(2)證明：在規(guī)模報酬不變的情況下，相應(yīng)的邊際產(chǎn)量是遞減的。解答：(1)根據(jù)規(guī)模報酬不變的定義　　f(λL，λK)＝λf(L，K)　　(λ＞0)于是有　　f(λL，λK)＝α0＋α1[(λL)(λK)]eq \f(1,2)＋α2(λK)＋α3(λL) ＝α0＋λα1(LK)eq \f(1,2)＋λα2K＋λα3L ＝λ[α0＋α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L]＋(1－λ)α0 ＝λf(L，K)＋(1－λ)α0由上式可見，當(dāng)α0＝0時，對于任何的λ＞0，有f(λL， λK)＝λf(L， K)成立，即當(dāng)α0＝0時，該生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模報酬不變的特征。(2)在規(guī)模報酬不變，即α0＝0時，生產(chǎn)函數(shù)可以寫成　　f(L，K)＝α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L相應(yīng)地，勞動與資本的邊際產(chǎn)量分別為　　MPL(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?L)＝eq \f(1,2)α1L－eq \f(1,2)Keq \f(1,2)＋α3　　MPK(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?K)＝eq \f(1,2)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(1,2)＋α2而且有　　eq \f(?MPL(L，K),?L)＝eq \f(?2f(L，K),?L2)＝－eq \f(1,4)α1L－eq \f(3,2)Keq \f(1,2)　　eq \f(?MPK(L，K),?K)＝eq \f(?2f(L，K),?K2)＝－eq \f(1,4)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(3,2)顯然，勞動和資本的邊際產(chǎn)量都是遞減的。13. 已知某企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為Q＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)，勞動的價格w＝2，資本的價格r＝1。求：(1)當(dāng)成本C＝3 000時，企業(yè)實現(xiàn)最大產(chǎn)量時的L、K和Q的均衡值。(2)當(dāng)產(chǎn)量Q＝800時，企業(yè)實現(xiàn)最小成本時的L、K和C的均衡值。解答：(1)根據(jù)企業(yè)實現(xiàn)給定成本條件下產(chǎn)量最大化的均衡條件　　eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(w,r)其中　　MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)　　MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)　　w＝2　　r＝1于是有　eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3),eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3))＝eq \f(2,1)整理得　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L再將K＝L代入約束條件2L＋1K＝3 000，有　　2L＋L＝3 000解得　　L*＝1 000且有　　K*＝1 000將L*＝K*＝1 000代入生產(chǎn)函數(shù)，求得最大的產(chǎn)量　　Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000本題的計算結(jié)果表示：在成本C＝3 000時，廠商以L*＝1 000，K*＝1 000進(jìn)行生產(chǎn)所達(dá)到的最大產(chǎn)量為Q*＝1 000。此外，本題也可以用以下的拉格朗日函數(shù)法來求解?！　〓]eq \o(max,\s\do4(L，K))Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)　　.　2L＋1K＝3 000　　L(L，K，λ)＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＋λ(3 000－2L－K)將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和λ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件　　eq \f(?L,?L)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)－2λ＝0(1)　　eq \f(?L,?K)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)－λ＝0(2)　　eq \f(?L,?λ)＝3 000－2L－K＝0(3)由式(1)、式(2)可得　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，可得　　3 000－2L－L＝0解得　　L*＝1 000且有　　K*＝1 000再將L*＝K*＝1 000代入目標(biāo)函數(shù)即生產(chǎn)函數(shù)，得最大產(chǎn)量　　Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000在此略去關(guān)于極大值的二階條件的討論。(2)根據(jù)廠商實現(xiàn)給定產(chǎn)量條件下成本最小化的均衡條件　　eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(w,r)其中　　MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)　　MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)　　w＝2　r＝1于是有　eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3),eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3))＝eq \f(2,1)整理得　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L再將K＝L代入約束條件Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800，有　　Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝800解得　　L*＝800且有　　K*＝800將L*＝K*＝800代入成本方程2L＋1K＝C，求得最小成本　　C*＝2800＋1800＝2 400本題的計算結(jié)果表示：在Q＝800時，廠商以L*＝800，K*＝800進(jìn)行生產(chǎn)的最小成本為C*＝2 400。此外，本題也可以用以下的拉格朗日函數(shù)法來求解?！　ieq \o(n,\s\do4(L，K))2L＋K　　.　Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800　　L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3))將拉格朗日函數(shù)分別對L、K和μ求偏導(dǎo)，得極值的一階條件　　eq \f(?L,?L)＝2－eq \f(2,3)μL－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)＝0(1)　　eq \f(?L,?K)＝1－eq \f(1,3)μLeq \f(2,3)K－eq \f(2,3)＝0(2)　　eq \f(?L,?μ)＝800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝0(3)由式(1)、式(2)可得　　eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即　　　K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，有　　800－Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝0解得　　L＝800且有　　K＝800再將L*＝K*＝800代入目標(biāo)函數(shù)即成本等式，得最小的成本　　C＝2L＋1K＝2800＋1800＝2 400在此略去關(guān)于極小值的二階條件的討論。14. 畫圖說明廠商在既定成本條件下是如何實現(xiàn)最大產(chǎn)量的最優(yōu)要素組合的。圖4—3解答：以圖4—3為例，要點如下：(1)由于本題的約束條件是既定的成本，所以，在圖4—3中，只有一條等成本線AB；此外，有三條等產(chǎn)量曲線QQ2和Q3以供分析，并從中找出相應(yīng)的最大產(chǎn)量水平。(2)在約束條件即等成本線AB給定的條件下，先看等產(chǎn)量曲線Q3，該曲線處于AB線以外，與AB線既無交點又無切點，所以，等產(chǎn)量