從古典幾何到現(xiàn)代幾何-資料下載頁(yè)
2025-06-19 23:47本頁(yè)面
【正文】 研究的空間推廣了。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 陳省身常有個(gè)比喻，如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過(guò)程相對(duì)照， ? 那么一開始的歐幾里得幾何，便好比人在原始社會(huì)中沒(méi)有穿衣服，是裸體的；然后笛卡兒把坐標(biāo)的概念加入了「赤裸」的空間，就好比人類開始穿衣服；而到了流形的階段，就好比現(xiàn)代人，不只穿一件衣服，還要常常換。 ? 也許有些人不太能接受這樣「奇裝異服」式的換坐標(biāo)，但是沒(méi)有關(guān)系，愛(ài)因斯坦花了七年的時(shí)間，才終于接受坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)換的概念，而能從狹義相對(duì)論進(jìn)展到廣義相對(duì)論。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 空間中有不同的坐標(biāo)系，那么麻煩就來(lái)了，因?yàn)閹缀蔚男再|(zhì)便和坐標(biāo)系的選取有關(guān)了，不過(guò)不要緊，只要我們能控制坐標(biāo)變換的性質(zhì)，使在變換前既有的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)變換之后仍為我們所控制，那么換坐標(biāo)就沒(méi)關(guān)系了，這是近代幾何學(xué)比較困難的地方。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 用以表示流形的坐標(biāo)系是任意的，因此可能是非線性的坐標(biāo)，在處理上就變得比較困難 。 ? 但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說(shuō)，雖然流形本身是非線性的，但在流形上的一點(diǎn)，都有一個(gè)和普通空間一樣的線性空間，即 切空間 。 ? 這些切空間之間原本是沒(méi)有關(guān)系的，而 LeviCivita 平行性就是要建立二點(diǎn)之間的切空間的關(guān)系；之后，微分幾何學(xué)家發(fā)現(xiàn)，這個(gè)平行性是非常基本的性質(zhì)。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 又因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué) (topology) 的發(fā)展，我們把這個(gè)觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個(gè)空間都可以。 ? 于是就有 矢量叢 (vector bundles) 和 聯(lián)絡(luò) (connections) 的觀念。 ? 也就是說(shuō)流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個(gè) 豎起來(lái) 的空間，任何的矢量空間都可以。 ? 從黎曼幾何推廣到有聯(lián)絡(luò)的矢量叢，這也就是物理上規(guī)范場(chǎng)論 (gauge field) 的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 ? 法國(guó)數(shù)學(xué)家加當(dāng)（ 18691951）于 1923年提出了一般聯(lián)絡(luò)的理論，是纖維叢概念的發(fā)端，加當(dāng)還是利用外微分形式和活動(dòng)標(biāo)形法的首創(chuàng)者。 ? 美國(guó)數(shù)學(xué)家莫爾斯（ Morse 1892 1977 ）于 1934年創(chuàng)建了大范圍變分學(xué)理論，為微分幾何提供了有效的工具。 現(xiàn)代微分幾何 ? 美籍華裔數(shù)學(xué)家陳省身（ 19112022）建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，又是纖維叢概念的創(chuàng)建人之一，對(duì)推進(jìn)整體微分幾何學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。國(guó)際上公認(rèn)，陳省身是現(xiàn)代微分幾何的奠基者，加當(dāng)?shù)睦^承人。 現(xiàn)代微分幾何 陳省身： “ 我為我們說(shuō)不清楚它（指現(xiàn)代微分幾何）是什么而高興，我希望它不要象其它數(shù)學(xué)分支那樣被公理化，保持著它把局部和整體相結(jié)合的精神，它在今后長(zhǎng)時(shí)期中仍將是一片肥沃的疆域。 ” 結(jié)束語(yǔ) 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) ? 1924年在加拿大多倫多舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議，決定每四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議將頒發(fā)兩枚金牌給對(duì)數(shù)學(xué)界有突出貢獻(xiàn)和成就的人物，而當(dāng)屆的秘書 ──加拿大數(shù)學(xué)家、教育家 . 菲爾茲 （ Fields） ──捐了一筆錢作為這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的基金，所以便以他的名字作為這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的名稱，即「菲爾茲獎(jiǎng)」（ Fields Medal）。這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)主要是頒給對(duì)現(xiàn)今的數(shù)學(xué)和將來(lái)數(shù)學(xué)有深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)家，而有一項(xiàng)不明文的規(guī)定這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的得主必須是不超過(guò)四十歲。而在 1966年的會(huì)議中，通過(guò)了每次頒發(fā)四枚獎(jiǎng)牌以配合數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展！ 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 2022年 佩雷爾曼 (俄羅斯 ) Grigori Perelman(1966) 對(duì)幾何學(xué)、 Ricci流分析 和流形的幾何結(jié)構(gòu)作出 了革命性貢獻(xiàn) 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1998年 麥克馬倫 (美國(guó) ) Curtis T McMullen(1958) 對(duì)雙曲幾何和復(fù)動(dòng)力系統(tǒng) 作出杰出貢獻(xiàn) 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1986年， 唐納森 (英國(guó) ) Simon Donaldson(1957) 費(fèi)里德曼 (美國(guó) ) Michael Freedman(1951) 分別證明了四維流形存在怪 異結(jié)構(gòu)和四維流形拓?fù)涞凝? 加萊猜想 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1982年， 丘成桐 (美國(guó) ) Yau ShingTung(1949) 證明了卡拉比猜想和廣義相 對(duì)論中的正質(zhì)量猜想，并在 高維閔可夫斯基問(wèn)題、弗蘭 克爾猜想、極小曲面方面作 出貢獻(xiàn) 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1970年， 斯梅爾 (美國(guó) ) Stephen Smale(1930) 解決了廣義龐加萊猜測(cè) 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1966年， 阿蒂亞 (英國(guó) ) (1929) Michael Francis Atiyah 給出了 AtiyahSinger指標(biāo) 定理，由此推廣 Riemann Roch定理，有利地推動(dòng)了 K理論的發(fā)展 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1958年， 托姆 (法國(guó) ) Rene Thom(1923) 創(chuàng)立了“突變理論”和代數(shù)拓 撲中的“配邊理論” 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1954年， 小平邦彥 (日本 ) Kodaria Kunihiko(1915) 推廣了代數(shù)幾何中黎曼 羅赫定 理，證明了狹義凱勒流形是代 數(shù)流形，得到了小平邦彥消滅 定理 與幾何有關(guān)的 Fields獎(jiǎng) 1936年， 道格拉斯 (美國(guó) ) Jesse Douglas(1897) 解決了普拉托極小曲面問(wèn)題
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