從古典幾何到現(xiàn)代幾何-閱讀頁(yè)
2025-07-04 23:47本頁(yè)面
【正文】 其高斯曲率為正常數(shù)。 類(lèi)似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于負(fù)一，而反過(guò)來(lái)說(shuō)曲率等于負(fù)一的曲面與雙面曲面局部相等。 高斯曲率 決 定曲面的 內(nèi)蘊(yùn)幾何 高斯顯然因他的定理興奮不已。 高斯：「 我愈來(lái)愈相信，人類(lèi)的理性并不能證明或理解幾何的必要性。 」 “ I am being more and more convincing that the necessity of our geometry cannot be proved, at least not by human reason nor for human reason. Perhaps in another life we will be able to obtain insight into the nature of space which is now unattainable.” 高斯 對(duì)幾何 的深思 高斯： 「 當(dāng)下我們不能把幾何與本質(zhì)是先驗(yàn)的算術(shù)相提并論 ， 只適宜將它與力學(xué)并列 。 高維流形 的內(nèi)蘊(yùn)幾何是由黎曼提出的 。 在那里高斯曲率有了明確的涵義 。 黎曼 抽象 空間 （ 現(xiàn)代幾何學(xué)的誕生 ） 黎曼在 1852年的 就職演說(shuō) 第一位 創(chuàng)建廣義的新幾何學(xué)體系的數(shù)學(xué)家是黎曼 .他必須通過(guò)就職演講 ， 才能擔(dān)任無(wú)報(bào)酬的哥廷根大學(xué)的講師職位 .他提交了三個(gè)題目由教授會(huì)選擇 ， 他希望他們選中前兩個(gè)中的一個(gè) ， 這是他已經(jīng)準(zhǔn)備好了的 .但是他輕率地提出的第三個(gè)題目正是高斯仔細(xì)考慮了 60年或更長(zhǎng)時(shí)間的問(wèn)題 ——幾何基礎(chǔ) ， 而這個(gè)題目他沒(méi)有準(zhǔn)備 .使黎曼大吃一驚的是 ， 高斯指定 第三個(gè)題目 . 黎曼在 1852年的 就職演說(shuō) ―所以我又處在絕境中了 ， ” 他給父親寫(xiě)信說(shuō) ， “ 因?yàn)槲也坏貌蛔鞒鲞@個(gè)題目 .我恢復(fù)了對(duì)電 、 磁 、 光和引力的研究 ， 我已經(jīng)進(jìn)行到可能沒(méi)有絲毫懷疑地發(fā)表它 .我越來(lái)越相信高斯已經(jīng)在這個(gè)題目上工作了許多年 ， 并對(duì)一些朋友談到過(guò)它 .‖ 黎曼在 1852年的 就職演說(shuō) 黎曼的就職演講 （ 1854年 6月 10日 ） 得到熱情接受 .這篇演講無(wú)論就數(shù)學(xué)還是就文筆來(lái)說(shuō) ， 都是杰作 .它改革了幾何學(xué)的研究 ,并且被認(rèn)為是整個(gè)數(shù)學(xué)史上篇幅最短 ， 內(nèi)容最豐富的文章 .在演講的結(jié)尾 ， 他說(shuō) ， “ 這樣一種研究的價(jià)值也許在于能使我們從先入之見(jiàn)中解放出來(lái) ， 需要用某種不同于歐幾里得幾何學(xué)的幾何學(xué)來(lái)研究物理定律的日子必將到來(lái) .‖ 這些預(yù)見(jiàn)在他死后五十年 ， 由于愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論而實(shí)現(xiàn)了 . 就職演說(shuō)的貢獻(xiàn) ? 對(duì)黎曼的簡(jiǎn)單扼要的論文的任何解釋 ， 都不能說(shuō)明這篇論文的全部?jī)?nèi)涵 .有三點(diǎn)最基本的貢獻(xiàn)需要指出 .這就是 流形 的概念 ， 度量 的定義和流形的 曲率 的概念 . ? 將高斯關(guān)于歐氏空間中曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何推廣成任意空間的內(nèi)蘊(yùn)幾何 。 就職演說(shuō)的貢獻(xiàn) ? 定義流形中的兩點(diǎn) 距離（即度量） ，假定這微小距離的平方是一個(gè)二次微分齊次 ? 由度量定義流形的 曲率， 常見(jiàn)三種曲率空間： （ 1）曲率為正常數(shù)；（黎曼幾何空間） （ 2）曲率為負(fù)常數(shù)；（羅氏幾何空間） （ 3）曲率恒等于零。 從此以后 ， 幾何學(xué)家研究的空間不再依賴(lài)于歐氏空間 ， 我們可以獨(dú)立地 討論 抽象空間 的幾何了（ 即 黎曼幾何 ） 。不過(guò)對(duì)絕大多數(shù)人而言 ， 這些高維抽象空間要不是枯燥無(wú)味 ，就是跟大自然風(fēng)馬牛不相及 。 ? 大致說(shuō)起來(lái)，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論是要把物理幾何化 ，也就是說(shuō)把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成為物理學(xué)家一定要念的一門(mén)數(shù)學(xué)。 ? 在愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的基本公式里，大致說(shuō)起來(lái)，物理的力是一個(gè)曲率；數(shù)學(xué)家講曲率和物理學(xué)家講力、位勢(shì) (potential)、速度，是完全可以把它們連在一起的。 ? LeviCivita 以為在 偽黎曼幾何 （廣義相對(duì)論里的其中一種，稱(chēng)為勞倫茲幾何）都有一個(gè)很基本的性質(zhì)，那就是平行性；在這個(gè)時(shí)候，空間不再是只用一個(gè)坐標(biāo)系表示的空間，而是需要很多不同的坐標(biāo)系才能表現(xiàn)的「流形」 (manifold)，這樣又把幾何研究的空間推廣了。 ? 也許有些人不太能接受這樣「奇裝異服」式的換坐標(biāo)，但是沒(méi)有關(guān)系，愛(ài)因斯坦花了七年的時(shí)間，才終于接受坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)換的概念，而能從狹義相對(duì)論進(jìn)展到廣義相對(duì)論。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 用以表示流形的坐標(biāo)系是任意的，因此可能是非線(xiàn)性的坐標(biāo)，在處理上就變得比較困難 。換句話(huà)說(shuō)，雖然流形本身是非線(xiàn)性的，但在流形上的一點(diǎn)，都有一個(gè)和普通空間一樣的線(xiàn)性空間，即 切空間 。 聯(lián)絡(luò)、矢量叢、規(guī)范場(chǎng)論 ? 又因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué) (topology) 的發(fā)展，我們把這個(gè)觀念推廣了，不一定要談切空間，任意一個(gè)空間都可以。 ? 也就是說(shuō)流形的切空間差不多是平的，但是矢量叢卻可以是一個(gè) 豎起來(lái) 的空間，任何的矢量空間都可以。 ? 法國(guó)數(shù)學(xué)家加當(dāng)（ 18691951）于 1923年提出了一般聯(lián)絡(luò)的理論，是纖維叢概念的發(fā)端，加當(dāng)還是利用外微分形式和活動(dòng)標(biāo)形法的首創(chuàng)者。 現(xiàn)代微分幾何 ? 美籍華裔數(shù)學(xué)家陳省身（ 19112022）建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，又是纖維叢概念的創(chuàng)建人之一，對(duì)推進(jìn)整體微分幾何學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。 現(xiàn)代微分幾何 陳省身： “ 我為我們說(shuō)不清楚它（指現(xiàn)代微分幾何）是什么而高興，我希望它不要象其它數(shù)學(xué)分支那樣被公理化，保持著它把局部和整體相結(jié)合的精神，它在今后長(zhǎng)時(shí)期中仍將是一片肥沃的疆域。這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)主要是頒給對(duì)現(xiàn)今的數(shù)學(xué)和將來(lái)數(shù)學(xué)有深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)家，而有一項(xiàng)不明文的規(guī)定這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的得主必須是不超過(guò)
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