【正文】 ==2，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2，在Rt△AFD中，AF==2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的表達(dá)式．　24．（2013?襄陽(yáng)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長(zhǎng)．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專(zhuān)題：證明題；壓軸題．分析：（1）連結(jié)OD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90176。，再由ACD=∠BCD=45176。，則∠DAB=∠ABD=45176。，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，由于△DAB為等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE為等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理計(jì)算出DE=4，則CD=7，易證得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可計(jì)算出PD．解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90176。，∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，∴∠ACD=∠BCD=45176。，∴∠DAB=∠ABD=45176。，∴△DAB為等腰直角三角形，∴DO⊥AB，∵PD為⊙O的切線，∴OD⊥PD，∴DP∥AB；（2）解：在Rt△ACB中，AB==10，∵△DAB為等腰直角三角形，∴AD===5，∵AE⊥CD，∴△ACE為等腰直角三角形，∴AE=CE===3，在Rt△AED中，DE===4，∴CD=CE+DE=3+4=7，∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45176。，∴∠APD=∠PCD，而∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD，∴===，∴PA=PD，PC=PD，而PC=PA+AC，∴PD+6=PD，∴PD=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)．　25．（2013?紹興）在△ABC中，∠CAB=90176。，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．4387773專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC：AB=1：2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90176。，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE，又BE=AE，進(jìn)而求出EF：EG的值．解答：（1）證明：如圖1，在△ABC中，∵∠CAB=90176。，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠CAD=∠B=90176。﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD與△BEF中，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四邊形EQDH是矩形，∴∠QEH=90176。，∴∠FEQ=∠GEH=90176。﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90176。，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90176。，∴∠B=30176。．在△BEQ中，∵∠BQE=90176。，∴sin∠B==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90176。，∠AEH=∠B=30176。，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．　26．（2013?汕頭）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90176。，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的長(zhǎng)；（3）求證：BE是⊙O的切線．考點(diǎn)：[來(lái)源:]切線的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論；（2）判斷△BED∽△CBA，利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)度．（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論．解答：（1）證明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），∴∠BCA=∠BAD．（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理），∠BED=∠CBA=90176。，∴△BED∽△CBA，∴=，即=，解得：DE=．（3）證明：連結(jié)OB，OD，在△ABO和△DBO中，∵，∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切線．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握一些定理的內(nèi)容．　27．（2013?朝陽(yáng)）如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，直徑DC的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半徑．（2）點(diǎn)E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）求弦EC的長(zhǎng)．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．4387773分析：（1）連接OA，交EC于F，根據(jù)切線性質(zhì)得出∠OAB=90176。，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）根據(jù)AE=AC推出弧AE=弧AC，根據(jù)垂徑定理求出OA⊥EC，根據(jù)平行線判定推出即可；（3）證△OFC∽△OAB，求出FC，根據(jù)垂徑定理得出EC=2FC，代入求出即可．解答：（1）解：連接AO，交EC于F，∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90176。，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA===6，答：⊙O的半徑是6．（2）直線EC與AB的位置關(guān)系是EC∥AB．證明：∵AE=AC，∴弧AE=弧AC，∵OA過(guò)O，∴OA⊥EC，∵OA⊥AB，∴EC∥AB．（3）解：∵EC∥AB，∴△OFC∽△OAB，∴=，∴=，∴FC=，∵OA⊥EC，OA過(guò)O，∴EC=2FC=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．　28．（2013?成都）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90176。，BD⊥BE，AD=BC．（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q；（i）當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值；（ii）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專(zhuān)題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證；（2）（i）過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BC于F，根據(jù)△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根據(jù)△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，從而得解；（ii）判斷出DQ的中點(diǎn)的路徑為△BDQ的中位線MN．求出QF、BF的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出BQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)度，即所求之路徑長(zhǎng)．解答：（1）證明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180176。﹣90176。=90176。，∵∠C=90176。，∴∠2+∠E=180176。﹣90176。=90176。，∴∠1=∠E，∵在△ABD和△CEB中，∴△ABD≌△CEB（AAS），∴AB=CE，∴AC=AB+BC=AD+CE；（2）（i）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥BC于F，則△BFQ∽△BCE，∴=，即=，∴QF=BF，∵DP⊥PQ，∴∠ADP+∠FPQ=180176。﹣90176。=90176。，∵∠FPQ+∠PQF=180176。﹣90176。=90176。，∴∠ADP=∠FPQ，又∵∠A=∠PFQ=90176。，∴△ADP∽△FPQ，∴=，即=，∴5AP﹣AP2+AP?BF=3?BF，整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，∵點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合，∴AP≠5，∴AP=BF，由△ADP∽△FPQ得，=，∴=；（ii）線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN．由（2）（i）可知，QF=AP．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AC中點(diǎn)時(shí)，AP=4，∴QF=．∴BF=QF=4．在Rt△BFQ中，根據(jù)勾股定理得：BQ===．∴MN=BQ=．∴線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）求出三角形全等的條件∠1=∠E是解題的關(guān)鍵，（2）（i）根據(jù)兩次三角形相似求出AP=BF是解題的關(guān)鍵，（ii）判斷出路徑為三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．