【正文】 三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關(guān)系．2．進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識(shí)特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心．【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．【典型熱點(diǎn)考題】例1 如圖421，□ABCD中，M是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BM交AC于點(diǎn)F，交DC于G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）圖421 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF點(diǎn)悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應(yīng)選D．例2 如圖422，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．圖422 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．例3 寫(xiě)出下列各組相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例式．(1)如圖423(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對(duì)應(yīng)邊．(2)如圖423(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．圖423 點(diǎn)悟：要寫(xiě)出兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例式，首先要確定兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊．因?yàn)橄嗨迫切问侨热切蔚耐茝V，所以要確定兩個(gè)相似三角形的各組的對(duì)應(yīng)邊，可以參照確定全等三角形對(duì)應(yīng)邊的方法，從確定這兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)出發(fā)．解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對(duì)應(yīng)邊，它們所對(duì)的頂點(diǎn)E和C為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，而A是兩三角形的公共頂點(diǎn)，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對(duì)AD=DEBC=EACA應(yīng)邊為DE和BC，EA和CA，得AB．(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點(diǎn)，另一對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為D和C，三組對(duì)應(yīng)邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．AD=AEAB=DECB得AC．本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構(gòu)成的兩個(gè)相似三角形，它的對(duì)應(yīng)元素比較明顯，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)有同樣的順序性，對(duì)應(yīng)邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖424)：圖424 第二類是相交線型．這一類型的對(duì)應(yīng)元素不十分明顯，對(duì)應(yīng)順序也不一致，對(duì)應(yīng)邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個(gè)公共角，另一種是一組對(duì)頂角(圖425)．圖425 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型． 例4 如圖426，已知：△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：ABDF＝BCEF．圖426 點(diǎn)悟：如果我們把條件和結(jié)論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)完全由紅線構(gòu)成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長(zhǎng)線)于A，C，F(xiàn)．這類問(wèn)題添輔助線的方法至少有三種，即過(guò)紅線三角形任一頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長(zhǎng)線相交(如圖427)，在每一種圖形中，雖然只有一對(duì)平行線，但與這對(duì)平行線有關(guān)的基本圖形都能找到兩對(duì)，根據(jù)每一個(gè)基本圖形都可以寫(xiě)出包含輔助線段在內(nèi)的一個(gè)比例式．圖427AD=DFBHEF=CEBC以(2)為例，可以寫(xiě)出ABBH=ABDFAD，又可以寫(xiě)出BH．前兩式均有BH，于是=BC可得，及BH=BCEF，所以，有ABDFEF．又因?yàn)锳DCEADCE＝CE，于是有ABDF＝BCEF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．例5 如圖428，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．圖428 點(diǎn)悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個(gè)基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩AG=DHHF個(gè)基本圖形中給出的比例式有一個(gè)公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．證明：∵ AD∥BC，AE=AGGFED=DHHF∴ BF，F(xiàn)C．∵ AE＝ED，BF＝FC，AG=DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．例6 如圖429，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長(zhǎng)．圖429 點(diǎn)悟：題設(shè)中的兩對(duì)平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應(yīng)的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．設(shè)AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE=AFCFx=4x∴ BE，即15x，2∴ x+4x60=0解得，x1=10(舍)，x2=6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．例7 如圖430，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．圖430 點(diǎn)悟：按照例4的分析，過(guò)點(diǎn)G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM=MC=12DC∴ ．BD∵ DCBD1=31，=61BD即2DC，MC=6+11=61．=71BD+MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．點(diǎn)撥：以上四例中，我們復(fù)習(xí)了線段成比例和平行線分線段成比例的有關(guān)知識(shí)．【易錯(cuò)例題分析】例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點(diǎn)，AD=2∴ QCBP，=3BC=4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC=DQPC，∠C＝∠D＝90176。，=2．AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應(yīng)避免沒(méi)有目標(biāo)而亂推理的情況．例2 ，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖431(1)、(2)所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留)．解：由AB＝，SΔABC=，得BC＝2米．設(shè)甲加工的桌面邊長(zhǎng)為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽R(shí)t△CBA，CD=DEAB672x=∴ CB，即2．解得 x=，過(guò)點(diǎn)B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．由AB＝，BC＝2米，SΔABC=＝，BH＝． 設(shè)乙加工的桌面邊長(zhǎng)為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽R(shí)t△BAC．BP==∴ BHy=，3037303722即x＞y，xy，解得，6因?yàn)?所以甲同學(xué)的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無(wú)法解的情況，更要避免看不出對(duì)應(yīng)線段造成的比值寫(xiě)錯(cuò)而形成的計(jì)算錯(cuò)誤．例3 如圖432，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF=BEBDAC于E、F．求證：AD．圖432(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90176。，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90176。，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．BD=BEAFAF=BEBD∴ AD，即 AD．警示：本例常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不證三角形相似，直接進(jìn)行線段的比，這是規(guī)范的一種情況．【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1．如圖433，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．多于3個(gè)2．某班在布置新年聯(lián)歡晚會(huì)會(huì)場(chǎng)時(shí)，需要將直角三角形彩紙裁成長(zhǎng)度不等的矩形彩條，如圖434在Rt△ABC中，∠C＝90176。，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條aaa3…若使裁得的矩形紙條的長(zhǎng)都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是（）A．24 B．25 C．26 D．27圖433 圖434二、填空題3．如圖435，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．圖435 圖436 4．如圖436，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個(gè)，它們是_______________．5．陽(yáng)光通過(guò)窗口照到室內(nèi)，，那么窗口底邊離地面的高等于________．三、解答題6．如圖437，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)C作CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2=PEPF．7．已知：如圖438，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36176。，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長(zhǎng)線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．圖437 圖438 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：ACBE＝ADCE．參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD 6．連結(jié)PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2=PEPF，∴PB2=PEPF7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36176。，∠C＝∠BFC＝72176。，∴BC＝BF＝AF(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72176。的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴ACBE＝ADCE