【正文】 ACG，由 可知，只要證明 ∠ ADF=∠ C 即可． （ 2）利用相似三角形的性質得到 = ，由此即可證明． 【解答】 （ 1）證明： ∵∠ AED=∠ B， ∠ DAE=∠ DAE， ∴∠ ADF=∠ C， ∵ = ， ∴△ ADF∽△ ACG． （ 2）解： ∵△ ADF∽△ ACG， ∴ = ， 又 ∵ = ， ∴ = ， ∴ =1． 【點評】 本題 考查相似三角形的性質和判定、三角形內角和定理等知識，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵，屬于基礎題中考?？碱}型． 27．（ 2022?大慶）如圖，在菱形 ABCD 中， G 是 BD 上一點，連接 CG 并延長交 BA 的延長線于點 F，交 AD 于點 E． （ 1）求證： AG=CG． （ 2）求證： AG2=GE?GF． 【分析】 根據(jù)菱形的性質得到 AB∥ CD， AD=CD， ∠ ADB=∠ CDB，推出 △ ADG≌△ CDG，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論； （ 2）由全等三角形的性質得到 ∠ EAG=∠ DCG，等量代換得到 ∠ EAG=∠ F，求 得 △ AEG∽△ FGA，即可得到結論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴ AB∥ CD， AD=CD， ∠ ADB=∠ CDB， ∴∠ F=∠ FCD， 在 △ ADG 與 △ CDG 中， ， ∴△ ADG≌△ CDG， ∴∠ EAG=∠ DCG， ∴ AG=CG； （ 2） ∵△ ADG≌△ CDG， ∴∠ EAG=∠ F， ∵∠ AGE=∠ AGE， ∴△ AEG∽△ FGA， ∴ ， ∴ AG2=GE?GF． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定和性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵． 28．（ 2022?梅州） 如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。， AC=5cm， ∠ BAC=60176。，動點 M 從點 B 出發(fā)，在 BA 邊上以每秒 2cm 的速度向點 A 勻速運動，同時動點 N 從點 C 出發(fā)，在CB 邊上以每秒 cm 的速度向點 B 勻速運動，設運動時間為 t 秒（ 0≤ t≤ 5），連接 MN． （ 1）若 BM=BN，求 t 的值； （ 2）若 △ MBN 與 △ ABC 相似，求 t 的值； （ 3）當 t 為何值時，四邊形 ACNM 的面積最小？并求出最小值． 【分析】 （ 1）由已知條件得出 AB=10， ．由題意知： BM=2t， ，由 BM=BN 得出方程 ，解方程即可； （ 2）分兩種 情況： ①當 △ MBN∽△ ABC 時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出 t 的值； ②當 △ NBM∽△ ABC 時，由相似三角形的對應邊成比例得出比例式，即可得出 t 的值； （ 3）過 M作 MD⊥ BC于點 D，則 MD∥ AC，證出 △ BMD∽△ BAC，得出比例式求出 MD=t．四邊形 ACNM 的面積 y=△ ABC 的面積﹣ △ BMN 的面積，得出 y 是 t 的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質即可得出結果． 【解答】 解：（ 1） ∵ 在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。， AC=5， ∠ BAC=60176。， ∴∠ B=30176。， ∴ AB=2AC=10， ． 由題意知： BM=2t， ， ∴ ， ∵ BM=BN， ∴ ， 解得： ． （ 2）分兩種情況： ①當 △ MBN∽△ ABC 時， 則 ，即 ， 解得： ． ②當 △ NBM∽△ ABC 時， 則 ，即 ， 解得： ． 綜上所述：當 或 時， △ MBN 與 △ ABC 相似． （ 3）過 M 作 MD⊥ BC 于點 D，則 MD∥ AC， ∴△ BMD∽△ BAC， ∴ ， 即 ， 解得： MD=t． 設四邊形 ACNM 的面積為 y， ∴y= = = ． ∴ 根據(jù)二次函數(shù)的性質可知，當 時， y 的值最?。? 此時， ． 【點評】 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形 的判定與性質、含 30176。角的直角三角形的性質、三角形面積的計算；本題綜合性強，證明三角形相似是解決問題的關鍵． 29．（ 2022?丹東）如圖 ①， △ ABC 與 △ CDE 是等腰直角三角形，直角邊 AC、 CD 在同一條直線上，點 M、 N 分別是斜邊 AB、 DE 的中點，點 P 為 AD 的中點，連接 AE、 BD． （ 1）猜想 PM 與 PN 的數(shù)量關系及位置關系，請直接寫出結論； （ 2）現(xiàn)將圖 ①中的 △ CDE 繞著點 C 順時針旋轉 α（ 0176。＜ α＜ 90176。），得到圖 ②， AE 與 MP、BD 分別交于點 G、 H．請判斷（ 1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立 ，請說明理由； （ 3）若圖 ②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使 BC=kAC， CD=kCE，如圖 ③，寫出PM 與 PN 的數(shù)量關系，并加以證明． 【分析】 （ 1）由等腰直角三角形的性質易證 △ ACE≌△ BCD，由此可得 AE=BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到 PM=PN，由平行線的性質可得 PM⊥ PN； （ 2）（ 1）中的結論仍舊成立，由（ 1）中的證明思路即可證明； （ 3） PM=kPN，由已知條件可證明 △ BCD∽△ ACE，所以可得 BD=kAE，因為點 P、 M、 N分別為 AD、 AB、 DE 的中點，所以 PM= BD， PN= AE，進而可證明 PM=kPN． 【解答】 解： （ 1） PM=PN， PM⊥ PN，理由如下： ∵△ ACB 和 △ ECD 是等腰直角三角形， ∴ AC=BC， EC=CD， ∠ ACB=∠ ECD=90176。． 在 △ ACE 和 △ BCD 中 ， ∴△ ACE≌△ BCD（ SAS）， ∴ AE=BD， ∠ EAC=∠ CBD， ∵ 點 M、 N 分別是斜邊 AB、 DE 的中點，點 P 為 AD 的中點， ∴ PM= BD， PN= AE， ∴ PM=PM， ∵ PM∥ BD， PN∥ AE， AE⊥ BD， ∴∠ NPD=∠ EAC， ∠ MPA=∠ BDC， ∠ EAC+∠ BDC=90176。， ∴∠ MPA+∠ NPC=90176。， ∴∠ MPN=90176。， 即 PM⊥ PN； （ 2） ∵△ ACB 和 △ ECD 是等腰直角三角形， ∴ AC=BC， EC=CD， ∠ ACB=∠ ECD=90176。． ∴∠ ACB+∠ BCE=∠ ECD+∠ BCE． ∴∠ ACE=∠ BCD． ∴△ ACE≌△ BCD． ∴ AE=BD， ∠ CAE=∠ CBD． 又 ∵∠ AOC=∠ BOE， ∠ CAE=∠ CBD， ∴∠ BHO=∠ ACO=90176。． ∵ 點 P、 M、 N 分別為 AD、 AB、 DE 的中點， ∴ PM= BD， PM∥ BD； PN= AE， PN∥ AE． ∴ PM=PN． ∴∠ MGE+∠ BHA=180176。． ∴∠ MGE=90176。． ∴∠ MPN=90176。． ∴ PM⊥ PN． （ 3） PM=kPN ∵△ ACB 和 △ ECD 是直角三角形， ∴∠ ACB=∠ ECD=90176。． ∴∠ ACB+∠ BCE=∠ ECD+∠ BCE． ∴∠ ACE=∠ BCD． ∵ BC=kAC， CD=kCE， ∴ =k． ∴△ BCD∽△ ACE． ∴ BD=kAE． ∵ 點 P、 M、 N 分別為 AD、 AB、 DE 的中點， ∴ PM= BD， PN= AE． ∴ PM=kPN． 【點評】 本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定和性質和三角形中位線定理的運用，熟記和三角形有關的各種性質定理是解答此題的關鍵． 30．（ 2022?煙臺）【探究證明】 （ 1）某班數(shù)學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明． 如圖 1，矩形 ABCD 中， EF⊥ GH， EF 分別交 AB， CD 于點 E， F， GH 分別交 AD， BC 于點 G， H．求證： = ； 【結論應用】 （ 2）如圖 2，在滿足（ 1）的條件下，又 AM⊥ BN，點 M， N 分別在邊 BC， CD 上，若 = ，則 的值為 ； 【聯(lián)系拓展】 （ 3）如圖 3，四邊形 ABCD 中， ∠ ABC=90176。， AB=AD=10， BC=CD=5， AM⊥ DN，點 M，N 分別在邊 BC， AB 上，求 的值． 【分析】 （ 1）過點 A 作 AP∥ EF，交 CD 于 P，過點 B 作 BQ∥ GH，交 AD 于 Q，如圖 1，易證 AP=EF， GH=BQ， △ PDA∽△ QAB，然后運用相似三角形的性質就可解決問題； （ 2）只需運用（ 1）中的結論，就可得到 = = ，就可 解決問題； （ 3）過點 D 作平行于 AB 的直線，交過點 A 平行于 BC 的直線于 R，交 BC 的延長線于 S，如圖 3，易證四邊形 ABSR 是矩形，由（ 1）中的結論可得 = ．設 SC=x， DS=y，則AR=BS=5+x， RD=10﹣ y，在 Rt△ CSD 中根據(jù)勾股定理可得 x2+y2=25①，在 Rt△ ARD 中根據(jù)勾股定理可得（ 5+x） 2+（ 10﹣ y） 2=100②，解 ①②就可求出 x，即可得到 AR，問題得以解決． 【解答】 解：（ 1）過點 A 作 AP∥ EF，交 CD 于 P，過點 B 作 BQ∥ GH，交 AD 于 Q，如圖 1， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB∥ DC， AD∥ BC． ∴ 四邊形 AEFP、四邊形 BHGQ 都是平行四邊形， ∴ AP=EF， GH=BQ． 又 ∵ GH⊥ EF， ∴ AP⊥ BQ， ∴∠ QAT+∠ AQT=90176。． ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB=∠ D=90176。， ∴∠ DAP+∠ DPA=90176。， ∴∠ AQT=∠ DPA． ∴△ PDA∽△ QAB， ∴ = ， ∴ = ； （ 2）如圖 2， ∵ EF⊥ GH， AM⊥ BN， ∴ 由（ 1）中的結論可得 = ， = ， ∴ = = ． 故答案為 ； （ 2）過點 D 作平行于 AB 的直線，交過點 A 平行于 BC 的直線于 R，交 BC 的延長線 于 S，如圖 3， 則四邊形 ABSR 是平行四邊形． ∵∠ ABC=90176。， ∴ ?ABSR 是矩形， ∴∠ R=∠ S=90176。， RS=AB=10， AR=BS． ∵ AM⊥ DN， ∴ 由（ 1）中的結論可得 = ． 設 SC=x， DS=y，則 AR=BS=5+x， RD=10﹣ y， ∴ 在 Rt△ CSD 中， x2+y2=25①， 在 Rt△ ARD 中，（ 5+x） 2+（ 10﹣ y） 2=100②， 由 ②﹣ ①得 x=2y﹣ 5③， 解方程組 ，