【正文】 ACG，由 可知，只要證明 ∠ ADF=∠ C 即可． （ 2）利用相似三角形的性質(zhì)得到 = ，由此即可證明． 【解答】 （ 1）證明： ∵∠ AED=∠ B， ∠ DAE=∠ DAE， ∴∠ ADF=∠ C， ∵ = ， ∴△ ADF∽△ ACG． （ 2）解： ∵△ ADF∽△ ACG， ∴ = ， 又 ∵ = ， ∴ = ， ∴ =1． 【點評】 本題 考查相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型． 27．（ 2022?大慶）如圖，在菱形 ABCD 中， G 是 BD 上一點，連接 CG 并延長交 BA 的延長線于點 F，交 AD 于點 E． （ 1）求證： AG=CG． （ 2）求證： AG2=GE?GF． 【分析】 根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AB∥ CD， AD=CD， ∠ ADB=∠ CDB，推出 △ ADG≌△ CDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論； （ 2）由全等三角形的性質(zhì)得到 ∠ EAG=∠ DCG，等量代換得到 ∠ EAG=∠ F，求 得 △ AEG∽△ FGA，即可得到結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴ AB∥ CD， AD=CD， ∠ ADB=∠ CDB， ∴∠ F=∠ FCD， 在 △ ADG 與 △ CDG 中， ， ∴△ ADG≌△ CDG， ∴∠ EAG=∠ DCG， ∴ AG=CG； （ 2） ∵△ ADG≌△ CDG， ∴∠ EAG=∠ F， ∵∠ AGE=∠ AGE， ∴△ AEG∽△ FGA， ∴ ， ∴ AG2=GE?GF． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵． 28．（ 2022?梅州） 如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。， AC=5cm， ∠ BAC=60176。，動點 M 從點 B 出發(fā)，在 BA 邊上以每秒 2cm 的速度向點 A 勻速運動，同時動點 N 從點 C 出發(fā)，在CB 邊上以每秒 cm 的速度向點 B 勻速運動，設(shè)運動時間為 t 秒（ 0≤ t≤ 5），連接 MN． （ 1）若 BM=BN，求 t 的值； （ 2）若 △ MBN 與 △ ABC 相似，求 t 的值； （ 3）當 t 為何值時，四邊形 ACNM 的面積最??？并求出最小值． 【分析】 （ 1）由已知條件得出 AB=10， ．由題意知： BM=2t， ，由 BM=BN 得出方程 ，解方程即可； （ 2）分兩種 情況： ①當 △ MBN∽△ ABC 時，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出 t 的值； ②當 △ NBM∽△ ABC 時，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出 t 的值； （ 3）過 M作 MD⊥ BC于點 D，則 MD∥ AC，證出 △ BMD∽△ BAC，得出比例式求出 MD=t．四邊形 ACNM 的面積 y=△ ABC 的面積﹣ △ BMN 的面積，得出 y 是 t 的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果． 【解答】 解：（ 1） ∵ 在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。， AC=5， ∠ BAC=60176。， ∴∠ B=30176。， ∴ AB=2AC=10， ． 由題意知： BM=2t， ， ∴ ， ∵ BM=BN， ∴ ， 解得： ． （ 2）分兩種情況： ①當 △ MBN∽△ ABC 時， 則 ，即 ， 解得： ． ②當 △ NBM∽△ ABC 時， 則 ，即 ， 解得： ． 綜上所述：當 或 時， △ MBN 與 △ ABC 相似． （ 3）過 M 作 MD⊥ BC 于點 D，則 MD∥ AC， ∴△ BMD∽△ BAC， ∴ ， 即 ， 解得： MD=t． 設(shè)四邊形 ACNM 的面積為 y， ∴y= = = ． ∴ 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當 時， y 的值最小． 此時， ． 【點評】 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形 的判定與性質(zhì)、含 30176。角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算；本題綜合性強，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵． 29．（ 2022?丹東）如圖 ①， △ ABC 與 △ CDE 是等腰直角三角形，直角邊 AC、 CD 在同一條直線上，點 M、 N 分別是斜邊 AB、 DE 的中點，點 P 為 AD 的中點，連接 AE、 BD． （ 1）猜想 PM 與 PN 的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論； （ 2）現(xiàn)將圖 ①中的 △ CDE 繞著點 C 順時針旋轉(zhuǎn) α（ 0176。＜ α＜ 90176。），得到圖 ②， AE 與 MP、BD 分別交于點 G、 H．請判斷（ 1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立 ，請說明理由； （ 3）若圖 ②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使 BC=kAC， CD=kCE，如圖 ③，寫出PM 與 PN 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． 【分析】 （ 1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易證 △ ACE≌△ BCD，由此可得 AE=BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到 PM=PN，由平行線的性質(zhì)可得 PM⊥ PN； （ 2）（ 1）中的結(jié)論仍舊成立，由（ 1）中的證明思路即可證明； （ 3） PM=kPN，由已知條件可證明 △ BCD∽△ ACE，所以可得 BD=kAE，因為點 P、 M、 N分別為 AD、 AB、 DE 的中點，所以 PM= BD， PN= AE，進而可證明 PM=kPN． 【解答】 解： （ 1） PM=PN， PM⊥ PN，理由如下： ∵△ ACB 和 △ ECD 是等腰直角三角形， ∴ AC=BC， EC=CD， ∠ ACB=∠ ECD=90176。． 在 △ ACE 和 △ BCD 中 ， ∴△ ACE≌△ BCD（ SAS）， ∴ AE=BD， ∠ EAC=∠ CBD， ∵ 點 M、 N 分別是斜邊 AB、 DE 的中點，點 P 為 AD 的中點， ∴ PM= BD， PN= AE， ∴ PM=PM， ∵ PM∥ BD， PN∥ AE， AE⊥ BD， ∴∠ NPD=∠ EAC， ∠ MPA=∠ BDC， ∠ EAC+∠ BDC=90176。， ∴∠ MPA+∠ NPC=90176。， ∴∠ MPN=90176。， 即 PM⊥ PN； （ 2） ∵△ ACB 和 △ ECD 是等腰直角三角形， ∴ AC=BC， EC=CD， ∠ ACB=∠ ECD=90176。． ∴∠ ACB+∠ BCE=∠ ECD+∠ BCE． ∴∠ ACE=∠ BCD． ∴△ ACE≌△ BCD． ∴ AE=BD， ∠ CAE=∠ CBD． 又 ∵∠ AOC=∠ BOE， ∠ CAE=∠ CBD， ∴∠ BHO=∠ ACO=90176。． ∵ 點 P、 M、 N 分別為 AD、 AB、 DE 的中點， ∴ PM= BD， PM∥ BD； PN= AE， PN∥ AE． ∴ PM=PN． ∴∠ MGE+∠ BHA=180176。． ∴∠ MGE=90176。． ∴∠ MPN=90176。． ∴ PM⊥ PN． （ 3） PM=kPN ∵△ ACB 和 △ ECD 是直角三角形， ∴∠ ACB=∠ ECD=90176。． ∴∠ ACB+∠ BCE=∠ ECD+∠ BCE． ∴∠ ACE=∠ BCD． ∵ BC=kAC， CD=kCE， ∴ =k． ∴△ BCD∽△ ACE． ∴ BD=kAE． ∵ 點 P、 M、 N 分別為 AD、 AB、 DE 的中點， ∴ PM= BD， PN= AE． ∴ PM=kPN． 【點評】 本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)和三角形中位線定理的運用，熟記和三角形有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵． 30．（ 2022?煙臺）【探究證明】 （ 1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究，提出下列問題，請你給出證明． 如圖 1，矩形 ABCD 中， EF⊥ GH， EF 分別交 AB， CD 于點 E， F， GH 分別交 AD， BC 于點 G， H．求證： = ； 【結(jié)論應(yīng)用】 （ 2）如圖 2，在滿足（ 1）的條件下，又 AM⊥ BN，點 M， N 分別在邊 BC， CD 上，若 = ，則 的值為 ； 【聯(lián)系拓展】 （ 3）如圖 3，四邊形 ABCD 中， ∠ ABC=90176。， AB=AD=10， BC=CD=5， AM⊥ DN，點 M，N 分別在邊 BC， AB 上，求 的值． 【分析】 （ 1）過點 A 作 AP∥ EF，交 CD 于 P，過點 B 作 BQ∥ GH，交 AD 于 Q，如圖 1，易證 AP=EF， GH=BQ， △ PDA∽△ QAB，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題； （ 2）只需運用（ 1）中的結(jié)論，就可得到 = = ，就可 解決問題； （ 3）過點 D 作平行于 AB 的直線，交過點 A 平行于 BC 的直線于 R，交 BC 的延長線于 S，如圖 3，易證四邊形 ABSR 是矩形，由（ 1）中的結(jié)論可得 = ．設(shè) SC=x， DS=y，則AR=BS=5+x， RD=10﹣ y，在 Rt△ CSD 中根據(jù)勾股定理可得 x2+y2=25①，在 Rt△ ARD 中根據(jù)勾股定理可得（ 5+x） 2+（ 10﹣ y） 2=100②，解 ①②就可求出 x，即可得到 AR，問題得以解決． 【解答】 解：（ 1）過點 A 作 AP∥ EF，交 CD 于 P，過點 B 作 BQ∥ GH，交 AD 于 Q，如圖 1， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB∥ DC， AD∥ BC． ∴ 四邊形 AEFP、四邊形 BHGQ 都是平行四邊形， ∴ AP=EF， GH=BQ． 又 ∵ GH⊥ EF， ∴ AP⊥ BQ， ∴∠ QAT+∠ AQT=90176。． ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB=∠ D=90176。， ∴∠ DAP+∠ DPA=90176。， ∴∠ AQT=∠ DPA． ∴△ PDA∽△ QAB， ∴ = ， ∴ = ； （ 2）如圖 2， ∵ EF⊥ GH， AM⊥ BN， ∴ 由（ 1）中的結(jié)論可得 = ， = ， ∴ = = ． 故答案為 ； （ 2）過點 D 作平行于 AB 的直線，交過點 A 平行于 BC 的直線于 R，交 BC 的延長線 于 S，如圖 3， 則四邊形 ABSR 是平行四邊形． ∵∠ ABC=90176。， ∴ ?ABSR 是矩形， ∴∠ R=∠ S=90176。， RS=AB=10， AR=BS． ∵ AM⊥ DN， ∴ 由（ 1）中的結(jié)論可得 = ． 設(shè) SC=x， DS=y，則 AR=BS=5+x， RD=10﹣ y， ∴ 在 Rt△ CSD 中， x2+y2=25①， 在 Rt△ ARD 中，（ 5+x） 2+（ 10﹣ y） 2=100②， 由 ②﹣ ①得 x=2y﹣ 5③， 解方程組 ，