【正文】 線等于斜邊的一半得到PF=PD=PE，PC=PD=PE，則PC=PF，又∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，得到∠FPC=2∠FDC=90176。，所以PC=PF，PC⊥PF．（2）延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長EF交BD于N，易得△PDG≌△PEF，得DG=EF=BF，得∠PEF=∠PDG，EN∥DG，可得∠FBC=∠GDC，證得△BFC≌△DGC，則FC=CG，∠BCF=∠DCG．得∠FCG=∠BCD=90176。．即有PC⊥PF，PF=PC．（3）根據(jù)題目要求畫出圖形，由（1）（2）得出結(jié)論．解答：解：（1）∵∠BFE=90176。，點P為DE的中點∴PF=PD=PE，同理可得PC=PD=PE，∴PC=PF，又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，∴∠FPC=2∠FDC=90176。，所以PC=PF，PC⊥PF．故答案為：相等、垂直；（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長EF交BD于N，如圖，∵點P為DE的中點，∴△PDG≌△PEF，∴DG=EF=BF．∴∠PEF=∠PDG，∴EN∥DG，∴∠BNE=∠BDG=45176。+∠CDG=90176。﹣∠NBF=90176。﹣（45176。﹣∠FBC）∴∠FBC=∠GDC，∴△BFC≌△DGC，∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．∴∠FCG=∠BCD=90176。．∴△FCG為等腰Rt△，∵PF=PG，∴PC⊥PF，PF=PC；（3）畫圖：線段PC、PF有何數(shù)量關(guān)系相等，位置關(guān)系垂直．點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．　24．如圖甲，操作：把正方形CGEF的對角線，CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點M．（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案即可；（2）將正方形CGEF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45176。（如圖乙），令CG=2BC其他條件不變，結(jié)論是否發(fā)生變化，并加以證明；（2）將正方形CGEF繞點C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖丙），其他條件不變．探究：線段MD，MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并加以證明．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；正方形的性質(zhì)．2097170專題：探究型．分析：（1）利用測量或觀察的方法即可作出判斷；（2）易證明△AMD≌△EMN，得到AD=EN，MD=MN，再根據(jù)CF=2AD，EF=2EN，得到：FD=FN．從而證得FM⊥MD，MF=MD；（3）延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC延長線交于點H．證明△DCF≌△NEF，即可得到線段MD，MF的位置及數(shù)量關(guān)系．解答：解：（1）MD=MF，MD⊥MF；（2分）（2）結(jié)論不變MD=MF，MD⊥MF，證明：如圖乙，延長DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90176。，AD∥FE，∴∠1=∠2．在△AMD與△EMN中，∵，∴△AMD≌△EMN，∴AD=EN，MD=MN，∵CF=2AD，EF=2EN，∴FD=FN．又∵∠DFN=90176。，∴FM⊥MD，MF=MD；（6分）（3）MD=MF，MD⊥MF，證法一：如圖丙，延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC延長線交于點H．在△AMD與△EMN中，∵，∴△AMD≌△EMN，∴∠3=∠4，AD=NE．又∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90176。，∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90176。．∴DC=NE．∵∠3=∠4，∴AD∥EH．∴∠H=∠ADC=90176。．∵∠G=90176。，∠5=∠6，∴∠7=∠8．∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90176。，∴∠DCF=∠FEN．在△DCF與△NEF中，∵，∴△DCF≌△NEF，∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90176。，∴∠DFN=90176。，∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）證法二：如圖丙，過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵四邊形ABCD、四邊形CGEF是正方形，∴AD=DC，F(xiàn)C=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90176。，∴∠H=90176。，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90176。，∴∠DCF=∠5=∠NEF．在△DCF與△NEF中，∵，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，∵∠CFE=90176。，∴∠DFN=90176。，∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)﹣﹣旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．　25．已知點E是正方形ABCD外的一點，EA=ED，線段BE與對角線AC相交于點F，（1）如圖1，當(dāng)BF=EF時，線段AF與DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明；（2）如圖2，當(dāng)△EAD為等邊三角形時，寫出線段AF、BF、EF之間的一個數(shù)量關(guān)系，并證明．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．2097170分析：（1）要求AF與DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，而題目涉及在正方形中，連接正方形的對角線是常用的方法，連接對角線BD是關(guān)鍵，得到四邊形ODEA是正方形，利用三角形中位線的性質(zhì)得到結(jié)論．（2）這個關(guān)系要用第一問類似的方法得出，輔助線不可少，制造全等三角形是難點．解答：解：（1）AF=，證明如下：連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO=DO，∵BF=EF，∴OF=DE，OF∥DE．∵BD⊥AC，∴∠EDO=∠AOB=90176。，∵∠ODA=∠OAD=，EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=45176。，∴∠OAD=∠AED=∠AOD=90176。，∴四邊形AODE是正方形．∴OA=DE，∴OF=AO，∴AF==．（2）AF+BF=EF、AF2+EF2=2BF2等（只要其中一個），AF+BF=EF的證明方法一：連接BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，連接DG．與第（1）同理可證∠GDA=45176。，∵四邊形ABCD是正方形，△ADE是等邊三角形，∴∠GDE=60176。﹣45176。=15176。．∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAC+∠DAE=90176。+60176。=150176。，∴∠ABE=∠AEB=，∴∠ABF=∠GDE．又∵∠DEG=∠DEA﹣∠AEB=60176。﹣15176。=45176。=∠BAC，DE=AD=AB，∴△ABF≌△EDG∴EG=AF，∴AF+BF=EG+FG=EF．AF+BF=EF的證明方法二（簡略）：在FE上截取FG=AF，連接AG．證得△AFG為等邊三角形．證得△ABF≌△AEG．證得AF+BF=EF．AF2+EF2=2BF2的證明方法（簡略）：作BG⊥BF，且使BG=BF，連接CG、FG，證得△BGC≌△BFA．證得FC=FE，F(xiàn)G=BF，利用Rt△FCG中，得出AF2+EF2=2BF2．點評：本題是一道考查正方形性質(zhì)的幾何題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的運用，全等三角形的運用，第二問的輔助線在第一問的基礎(chǔ)上進(jìn)行．　26．如圖1，四邊形ABCD為正方形，E在CD上，∠DAE的平分線交CD于F，BG⊥AF于G，交AE于H．（1）如圖1，∠DEA=60176。，求證：AH=DF；（2）如圖2，E是線段CD上（不與C、D重合）任一點，請問：AH與DF有何數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，E是線段DC延長線上一點，若F是△ADE中與∠DAE相鄰的外角平分線與CD的交點，其它條件不變，請判斷AH與DF的數(shù)量關(guān)系（畫圖，直接寫出結(jié)論，不需證明）．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理．2097170專題：幾何綜合題．分析：（1）延長BG交AD于點S，由于AF是HAS的角的平分線，BS⊥AF故有∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90176。，由AAS證得△AGH≌△AGS，可得AH=AS，再證得△ABS≌△DAF，即可得到DF=AS=AH．（2）（3）證法相同．解答：證明：（1）延長BG交AD于點S∵AF是HAS的角的平分線，BS⊥AF∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90176。又∵AG=AG∴△AGH≌△AGS∴AH=AS，∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAG，∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90176。∴∠BAG=∠ASB∴∠ASB=∠AFD又∵∠BAS=∠D=90176。，AB=AD∴△ABS≌△DAF∴DF=AS∴DF=AH．（2）DF=AH．同理可證DF=AH．（3）DF=AH．點評：本題利用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等求解．注意三個小題的證明方法一樣．即不論點E在CD上還是DC的延長線上結(jié)果都一樣．　27．在直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交x軸于A，交y軸于D（1）以A為直角頂點作等腰直角△AMD，直接寫出點M的坐標(biāo)為?。ī?，2）、（2，2）；?。?）以AD為邊作正方形ABCD，連BD，P是線段BD上（不與B、D重合）的一點，在BD上截取PG=，過G作GF⊥BD，交BC于F，連AP則AP與PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45176。，試判斷線段PD、PG、BG之間有何關(guān)系，并證明你的結(jié)論．考點：一次函數(shù)綜合題．2097170專題：綜合題．分析：（1）先根據(jù)y=2x+4確定A點與D點坐標(biāo)，然后把AD繞點A順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)90176。，即把Rt△ADO繞點A順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)90176。，點D的對應(yīng)點為點M，利用三角形全等易確定M的坐標(biāo)；（2）過A作AH⊥DB，先計算出AD=2，利用正方形的性質(zhì)得到BD=2?=2，AH=DH=BD=，由PG=得DP+BG=，則PH=BG，易證Rt△APH≌Rt△PFG，即可得到AP=PF且AP⊥PF；（3）把△AGB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90176。得到△AMD，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠MDA=∠ABG=45176。，DM=BG，∠MAD=∠BAG，AM=AG，則∠MDP=90176。，根據(jù)勾股定理有DP2+BG2=PM2；由∠PAG=45176。，則∠DAP+∠BAG=45176。，得到∠MAD+∠DAP=45176。，即∠MAP=45176。，易證得△AMP≌△AGP，得到MP=PG，即有DP2+BG2=PG2．解答：解：（1）M（﹣6，2）或（2，﹣2）；（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：過A作AH⊥DB，如圖，∵A（﹣2，0），D（0，4），∴AD==2，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD=2?=2，∴AH=DH=BD=，而PG=，∴DP+BG=，而DH=DP+PH=，∴PH=BG，∵∠GBF=45176。，∴BG=GF，∴Rt△APH≌Rt△PFG，∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，∴∠APH+∠GPF=90176。，即AP⊥PF．（3）DP2+BG2=PG2．理由如下：把△AGB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90176。得到△AMD，連MP，如圖，∴∠MDA=∠ABG=45176。，DM=BG，∠MAD=∠BAG，∴∠MDP=90176。，∴DP2+BG2=PM2；又∵∠PAG=45176。，∴∠DAP+∠BAG=45176。，∴∠MAD+∠DAP=45176。，即∠MAP=45176。，而AM=AG，∴△AMP≌△AGP，∴MP=PG，∴DP2+BG2=PG2．點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：利用一次函數(shù)的解析式確定某些線段的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明線段的關(guān)系．　28．如圖，一個直角三角形的直角頂點P在正方形ABCD的對角線AC所在的直線上滑動，并使得一條直角邊始終經(jīng)過B點．（1）如圖1，當(dāng)直角三角形的另一條直角邊和邊CD交于Q點，=　1??；（2）如圖2，當(dāng)另一條直角邊和邊CD的延長線相交于Q點時，=　1　；（3）如圖3或圖4，當(dāng)直角頂點P運動到AC或CA的延長線上時，請你在圖3或圖4中任選一種情形，求的值，并說明理由．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．2097170專題：幾何綜合題．分析：由圖2可知過點P作正方形對邊CD、AB的垂線垂足為M、N，可以證明△PMQ≌△BNP，從而得出=1；證明圖4可以仿照這種方法進(jìn)行．解答：解：（1）1；（2）1；（3）如圖3，=1，過點P作PN⊥AB，垂足N在AB的延長線上，PN交CQ于點M，在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90176。，∴CBNM是矩形，∴CM=BN，易證△CMP是等腰直角三角形，∴PM=CM=BN，又∠1=∠PBN=90176。﹣∠BPN，∴△PMQ≌△BNP，（ASA）∴PQ=PB，∴=1，如圖4，=1，過點P作PN⊥AB，垂足N在BA的延長線上，PN的延長線交CQ于點M，在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90176。，∴CBNM是矩形，∴CM=BN，易證△CMP是等腰直角三角形，∴PM=CM=BN，又∠1=