中位線經(jīng)典習(xí)題及答案-資料下載頁(yè)
2025-06-19 00:34本頁(yè)面
【正文】 =AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．解答：證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30176。，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=CB，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，而△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60176?！郋F=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此題是首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形． 24．（2006?鎮(zhèn)江）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，AO=CO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．2619177專題：證明題．分析：要證四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定，和已知條件，只需證AB=CD，繼而需求證△ABO≌△CDO，由已知條件很快確定ASA，即證．解答：證明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO．∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO．∴AB=CD，又∵AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法． 25．（2006?湛江）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；三角形中位線定理．2619177專題：壓軸題；探究型．分析：四邊形EFGH是平行四邊形，連接AC，根據(jù)中位線定理，可證得EF∥AC，且EF=AC．GH∥AC，且GH=AC，∴EFGH．∴四邊形EFGH是平行四邊形．解答：解：四邊形EFGH是平行四邊形證明：連接AC，如圖．∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，且EF=AC．同理：GH∥AC，且GH=AC，∴EFGH．∴四邊形EFGH是平行四邊形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定，綜合運(yùn)用了中位線定理，作輔助線是關(guān)鍵． 26．證明：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60度．考點(diǎn)：反證法．2619177專題：證明題．分析：當(dāng)條件較少，無(wú)法直接證明時(shí)，可用反證法證明；先假設(shè)結(jié)論不成立，然后得到與定理矛盾，從而證得原結(jié)論成立．解答：證明：假設(shè)在一個(gè)三角形中沒(méi)有一個(gè)角小于或等于60176。，即都大于60176。；那么，這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和就會(huì)大于180176。；這與定理“三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180176。”相矛盾，原命題正確．點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定． 27．請(qǐng)用反證法證明：如果兩個(gè)整數(shù)的積是偶數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)．考點(diǎn)：反證法．2619177分析：首先假設(shè)這兩個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)，其中一個(gè)奇數(shù)為2n+1，另一個(gè)奇數(shù)為2p+1，利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，進(jìn)而得出矛盾，則原命題正確．解答：證明：假設(shè)這兩個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)，其中一個(gè)奇數(shù)為2n+1，另一個(gè)奇數(shù)為2p+1，（n、p為整數(shù)）， 則（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，∵無(wú)論n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇數(shù)，這與已知中兩個(gè)奇數(shù)的乘積為偶數(shù)相矛盾，所以假設(shè)不成立，∴這兩個(gè)整數(shù)中至少一個(gè)是偶數(shù)．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反證法的證明以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及數(shù)的奇偶性，熟練掌握反證法證明步驟是解題關(guān)鍵． 28．判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例說(shuō)明．（1）有一個(gè)角是60176。的等腰三角形是等邊三角形．（2）有兩個(gè)角是銳角的三角形是銳角三角形．考點(diǎn)：反證法．2619177分析：（1）真命題，不管底角還是頂角為60176。，都可推出等腰三角形的每個(gè)角都為60176。（2）假命題，舉一個(gè)反例即可．解答：解：（1）真命題，（2）假命題．假設(shè)原命題為真命題，那么在△ABC中，∠A=20176。，∠B=30176。，∠C=130176。，則△ABC就應(yīng)該是銳角三角形；而實(shí)際上△ABC就應(yīng)該是鈍角三角形，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以原命題為假命題．點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的判斷，可反證法來(lái)證明． 29．（2013?南充）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線交AB于E，交CD于F．求證：OE=OF．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．2619177專題：證明題；壓軸題．分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易證得△OAE≌△OCF，則可得OE=OF．解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，∵在△OAE和△OCF中，∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF．點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 30．（2013?茂名）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，DE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，連接CE．試判斷CE和DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．2619177分析：（1）由全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論；（2）由（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知點(diǎn)E是邊DF的中點(diǎn)，∠1=∠2；根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等量代換以及等角對(duì)等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知CE⊥DF．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．又∵點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，∴AE=BE．∵在△ADE與△BFE中，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF．理由如下：如圖，連接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，∠1=∠2．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊、對(duì)頂角以及公共角． 169。20102014 菁優(yōu)網(wǎng)
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