【正文】 有的k空間的體積是：k空間態(tài)密度為k空間殼層內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)為：所以周期性邊界條件下，可得這是由于在駐波條件下，只能取正數(shù)，而在周期性邊界條件下，可取正負(fù)整數(shù)。 電子處在體積V的正交六面體小盒子中，借助測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系確定在動(dòng)量區(qū)間p~p+dp或能量區(qū)間E~E+dE中電子的量子態(tài)數(shù)，求動(dòng)量和能量分別小于p0和E0的電子態(tài)總數(shù)。解：因?yàn)轶w積為V的電子體系中的能態(tài)密度為 由 ，以及 ，得 = 有測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，電子位置的不確定 ，電子動(dòng)量的不確定性，所以在動(dòng)量區(qū)間p~p+dp或能量區(qū)間E~E+dE中電子的量子態(tài)數(shù)為動(dòng)量和能量分別小于p和E的電子態(tài)總數(shù)Npp0或EE0 電子在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方匣中運(yùn)動(dòng)，求出它的前4個(gè)不同能級(jí)的所有波函數(shù)，給出各能級(jí)的能量和簡(jiǎn)并度。解：由課本（）式，電子能量不考慮，的情況，則最小能量分別對(duì)應(yīng)于：①為，簡(jiǎn)并度：3②為，簡(jiǎn)并度：3③為，簡(jiǎn)并度：1④為，簡(jiǎn)并度：3則波函數(shù)分別為： p107①時(shí)，②時(shí)，③時(shí)，④時(shí)， 限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的N個(gè)二維自由電子氣能量為，試求能量在E~E+dE間的狀態(tài)數(shù)及費(fèi)米能。解：由，得對(duì)于給定的能量，方程在波矢空間是一個(gè)圓。在k空間，單位面積內(nèi)的狀態(tài)數(shù)：半徑的圓內(nèi)的狀態(tài)數(shù)：,能量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)：能態(tài)密度：絕對(duì)零度T=0時(shí)，體系的總電子數(shù)為絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能量： 180。1014s，試計(jì)算300K時(shí)的熱導(dǎo)率，180。108Wm，試估計(jì)它在同一溫度下的熱導(dǎo)率。解：銅在300K時(shí)的熱導(dǎo)率銅在273K時(shí)的熱導(dǎo)率 已知鈉是bcc結(jié)構(gòu)，點(diǎn)陣常數(shù)a = ，試用自由電子模型計(jì)算霍爾系數(shù)。解：鈉中電子濃度霍爾系數(shù) 試證明熱發(fā)射電子垂直金屬表面的平均動(dòng)能是kBT，則平行于表面的平均能量也是kBT。證：由波爾茲曼分布率知，能量在v~ v+dv范圍內(nèi)的電子的數(shù)量為 （應(yīng)該為E~E+dE）()電子的均方平均速度 電子的平均動(dòng)能 由于電子的自旋角動(dòng)量是，遵從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律，每個(gè)能級(jí)上有兩個(gè)自旋相反的電子，電子在垂直于表面方向的平均能量為同理可說(shuō)明，平行于表面的平均能量也是kBT。二、簡(jiǎn)要敘述特魯?shù)履Ｐ团c索末菲模型的異同點(diǎn)。P103104, p107第六章 習(xí)題解答 一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足布洛赫定理，若晶格常數(shù)為，電子的波函數(shù)為（1） （2） （3） （f是某個(gè)確定的函數(shù)） 試求電子在這些狀態(tài)的波矢解：布洛赫函數(shù)為 （1） ， ， （2） 同理， ， ， （3） 此處 ， ， 已知一維晶格中電子的能帶可寫(xiě)成，式中是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求（1）能帶的寬度，（2）電子的平均速度，（3） 在帶頂和帶底的電子的有效質(zhì)量 解：能帶寬度為 ， 由極值條件 ， 得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區(qū)內(nèi)的解為 當(dāng)k＝0時(shí)，取極小值，且有當(dāng)時(shí)，取極大值 ，且有 由以上的可得能帶寬度為 （2）電子的平均速度為 （3）帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量分別為 一維周期勢(shì)場(chǎng)為 ， 其中 ，W為常數(shù)，求此晶體第一及第二禁帶寬度 解：據(jù)自由電子近似得知禁帶寬度的表示式為 ， 其中是周期勢(shì)場(chǎng)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)為： 求得，第一禁帶寬度為 第二禁帶寬度為 用緊束縛近似計(jì)算最近鄰近似下一維晶格s態(tài)電子能帶，畫(huà)出，與波矢的關(guān)系，證明只有在原點(diǎn)和布里淵區(qū)邊界附近，有效質(zhì)量才和波矢無(wú)關(guān)。解： 根據(jù)緊束縛近似， 對(duì)一維，最近鄰 則 為余弦函數(shù) （圖省） 有效質(zhì)量 的圖也省 在原點(diǎn)附近，很小， 在布里淵區(qū)邊界，， 某晶體電子的等能面是橢球面 ，坐標(biāo)軸1，2，3互相垂直。求能態(tài)密度。 解：由已知條件可將波矢空間內(nèi)電子能帶滿(mǎn)足的方程化為 將上式與橢球公式比較可知，在波矢空間內(nèi)電子的等能面是一橢球面，與橢球的體積 比較可得到，能量為E的等能面圍成的橢球體積 由上式可得 能量區(qū)間內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)目 是晶體體積，電子的能態(tài)密度 已知能帶為：其中，為晶格常數(shù)，試求（1） 能帶寬度（2） 電子在波矢狀態(tài)下的速度（3） 能帶底附近電子的能態(tài)密度解：（1） ，，可看出，n為偶數(shù)時(shí)E為極小值，n為奇數(shù)時(shí)為極大值 故，能帶寬度（2） 其中 在時(shí) （3） 能帶底n為偶數(shù)，可取為零，故，均很小據(jù) 有 ，其中 ，，則： 用緊束縛模型求最近鄰近似的s態(tài)電子能帶公式，寫(xiě)出二維正三角形網(wǎng)絡(luò)的能帶，計(jì)算電子的速度及有效質(zhì)量張量。解：對(duì)二維正三角晶格（如圖），yx6個(gè)最近鄰的坐標(biāo)為，，，代入上式并化簡(jiǎn)得：電子速度：，其中由于 用緊束縛近似計(jì)算面心立方晶格最近鄰近似下s態(tài)電子能帶（1） 證明在k＝0附近，能帶的等能面是球形的，導(dǎo)出有效質(zhì)量。（2） 畫(huà)出[100]與[111]方向的曲線(xiàn)。（3） 畫(huà)出平面內(nèi)能量的等值線(xiàn)。解：（1）面心立方最近鄰有十二個(gè)原子，其Rs位置在 將這些Rs代入上式并簡(jiǎn)化可得： 在k＝0附近，，均很小，利用，（x1, 則得故 由于其余（2） 在[100]方向，則 即可按此函數(shù)作圖（圖?。? 在[111]方向， 可據(jù)上函數(shù)作圖（圖?。?） 在平面內(nèi)， 等值線(xiàn)即 （C為常數(shù)） 對(duì)體心立方晶格，用緊束縛法近似計(jì)算最近鄰近似下s態(tài)電子能帶，證明在帶底和帶頂附近等能面近似為球形，寫(xiě)出電子的有效質(zhì)量。解：s態(tài)電子能帶可表示為對(duì)體心立方，最近鄰原子為8個(gè)，其Rs為：，化簡(jiǎn)后即得：故 由于，可看出時(shí)，為極大值，即而。即時(shí)， 為極小值，即故帶寬在帶底附近，由于，用，則 這顯然是一個(gè)球形有效質(zhì)量，所以 在帶頂附近，可寫(xiě)為，很小則這顯然也是個(gè)球形而， 金屬鉍的導(dǎo)帶底部有效質(zhì)量倒數(shù)張量為 求有效質(zhì)量張量的各分量，并確定此能帶底部附近等能面的性質(zhì)解：的逆矩陣即為矩陣，用矩陣計(jì)算方法，可求得 ，， ， 其余為0 為確定等能面，在作為k矢量原點(diǎn)的能帶底部附近泰勒展開(kāi)（有用的僅二階項(xiàng)），并假定能帶底E＝0，在能帶底一階導(dǎo)數(shù)為0，即，且＝故有顯然等能面是一個(gè)橢球面