初中相似三角形基本知識點和經(jīng)典例題-資料下載頁
2025-06-18 07:28本頁面
【正文】 圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，=，窗口高AB=，求窗口底邊離地面的高BC？ 思路點撥：光線AD//BE，作EF⊥，利用邊的比例關(guān)系求出BC. 解：作EF⊥∥BE，所以又因為， 所以，所以. 因為AB∥EF， AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=. 所以m.類型五、相似三角形的周長與面積 8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積． 思路點撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關(guān)的已知條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積． 解：∵ DA∥BC， ∴ △ADE∽△BCE． ∴ S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2． ∵ AE︰BE=1︰2， ∴ S△ADE︰S△BCE=1︰4． ∵ S△ADE=1， ∴ S△BCE=4． ∵ S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2， ∴ S△ABC=6． ∵ EF∥BC， ∴ △AEF∽△ABC． ∵ AE︰AB=1︰3， ∴ S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9． ∴ S△AEF==． 總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對應底邊的比．當兩個三角形相似時，它們的面積比等于對應線段比的平方，即相似比的平方． 舉一反三 【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比. 解：設原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2. ∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且， ∴， ∴. 【變式2】如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上． (1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長； (2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長； 解：(1)∵S△PQC=S四邊形PABQ ∴S△PQC：S△ABC=1：2 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2 ∴CP2=42， ∴CP=. (2)∵S△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等， ∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周長)=6 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴ ，即： 解得，CP=類型六、綜合探究 9．如圖，AB∥CD，∠A=90176。，AB=2，AD=5，P是AD上一動點(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點E， (1)設AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍； (2)請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說 明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180176?！ ?∵∠A=90176。， ∴∠D=90176。，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90176。， 又∠APB+∠ABP=90176。， ∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴ ，即 ∴ (2)欲使四邊形ABED為矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合題意，故AP=1或 4. 總結(jié)升華： (1)求以線段長為變量的兩個函數(shù)間的關(guān)系時，常常將未知線段和已知線段作為三角形的邊，利用相似 三角形的知識解決. (2)解決第(2)小問時要充分挖掘運動變化過程中點的特殊位置，再轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，通過建立方程 解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 10．如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC上任意一點，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F. (1)設BP=，△PEF的面積為，求與的函數(shù)解析式和的取值范圍； (2)當P在BC邊上什么位置時，值最大. 解：(1)∵BC=2， BC邊上的高AD=1 ∴△ABC的面積為1 ∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC ∴，∴ 同理△CEP∽△CAB ∴， ∴ ∵PE∥AB， PF∥AC，∴四邊形PFAE為平行四邊形 ∴ ∴. (2) ∴當時，即P點在BC邊的中點時，值最大. 總結(jié)升華：建立三角形的面積與線段長之間的函數(shù)關(guān)系，可考慮從以下幾方面考慮： (1)從面積公式入手； (2)從相似三角形的性質(zhì)入手；將面積的比轉(zhuǎn)化為相似比的平方； (3)從同底或等高入手，將面積比轉(zhuǎn)化為底之比或高之比.
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