【導(dǎo)讀】它是一門思維的科學(xué)，是培養(yǎng)理性思維的重要載體，通過空間想象、直覺猜想、歸納抽。思考和判斷，形成和發(fā)展理性思維，構(gòu)成數(shù)學(xué)能力的主體。數(shù)學(xué)是人們生活、勞動、學(xué)習(xí)必不可少的工具，是科學(xué)的原動力、是理工學(xué)科的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)推動了重大的科學(xué)技術(shù)進(jìn)步，當(dāng)代與未來的發(fā)展都要倚重數(shù)學(xué)的發(fā)展。

　　

【正文】 圍為160 3??????， 2020:/8320王新敞源頭學(xué)子小屋 5（ 2020，全國卷 1 理，第 19 題） 已知函數(shù) 32( ) 1f x x ax x? ? ? ?， a?R ． （Ⅰ）討論函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）設(shè)函數(shù) ()fx在區(qū)間 2133????????， 內(nèi)是減函數(shù)，求 a 的取值范圍． 【答案】 （ 1） 32( ) 1f x x ax x? ? ? ?求導(dǎo)： 2( ) 3 2 1f x x ax? ? ? ? 當(dāng) 2 3a≤ 時， 0?≤ ， ( ) 0fx? ≥ ， ()fx在 R 上遞增 當(dāng) 2 3a? ， ( ) 0fx? ? 求得兩 根為 2 33aax ? ? ?? 即 ()fx在 2 33aa??? ? ???????，遞增， 223333a a a a??? ? ? ? ? ?????，遞減， 2 33aa??? ? ? ??????，遞增 .. .. （ 2）2232333133aaaa?? ? ?????? ? ?? ???≤≥，且 2 3a? 解得： 74a≥ 6（ 2020，安徽文 ,第 21 題） 已知函 2( ) 1 lnf x x a xx? ? ? ?， a＞ 0， （Ⅰ）討論 ()fx的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) a=3，求 ()在區(qū)間21,e????上值域。其中 e=?是自然對數(shù)的底數(shù)。 【答案】 由求導(dǎo)可判斷得單調(diào)性，同時要注意對參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)。第二問就根據(jù)第一問中所涉及到的單調(diào)性來求函數(shù) ()fx在21,e????上的值域。 (1)由于22( ) 1 afx xx? ? ? 令 21 2 1 ( 0 )t y t a t tx? ? ? ? ?得 ①當(dāng) 2 80a?? ? ? ,即 0 2 2a?? 時 , ( ) 0fx? 恒成立 . ()fx? 在 (－∞ ,0)及 (0,＋∞ )上都是增函數(shù) . ②當(dāng) 2 80a?? ? ? ,即 22a? 時 由 22 1 0t at? ? ? 得 2 84aat ???或 2 84aat ??? 2 804aax ??? ? ?或 0x? 或 2 84aax ??? 又由 220t at? ?? 得 2 2 2 28 8 8 84 4 2 2a a a a a a a atx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 綜上①當(dāng) 0 2 2a?? 時 , ()fx在 ( , 0) (0, )?? ??及 上都是增函數(shù) . ②當(dāng) 22a? 時 , ()fx在 2288( , )a a a a? ? ? ?上是減函數(shù) , 在 2288( , 0 ) ( 0 , ) ( , )a a a a? ? ? ?? ? ? ?及上都是增函數(shù) . .. .. (2)當(dāng) 3a? 時 ,由 (1)知 ()fx在 ? ?1,2 上是減函數(shù) .在 22,e????上是增函數(shù) . 又 (1 ) 0 , ( 2) 2 3 2 0f f ln? ? ? ?2222( ) 5 0f e e e? ? ? ? 21 ?函數(shù) ()fx在 21,e????上的值域?yàn)?2222 3 n 2 , 5le e??? ? ????? 7（ 2020，全國卷 2 文，第 21 題） 已知函數(shù) 32( ) 3 3 x x ax x? ? ? ? (I)設(shè) 2a? ,求 ()fx的單調(diào)區(qū)間； (II)設(shè) ()fx在區(qū)間 (2,3)上有一個極值點(diǎn) ,求 a 的取值范圍 . 【答案】 （Ⅰ）當(dāng) a=2 時， 32( ) 6 3 1 , ( ) 3 ( 2 3 ) ( 2 3 )f x x x x f x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) ( , 2 3)x? ?? ? 時 ( ) 0, ( )f x f x? ? 在 ( ,2 3)?? ? 單調(diào)增加； 當(dāng) (2 3 , 2 3 )x? ? ?時 ( ) 0, ( )f x f x? ? 在 (2 3, 2 3)??單調(diào)減少； 當(dāng) (2 3, )x? ? ??時 ( ) 0, ( )f x f x? ? 在 (2 3, )? ?? 單調(diào)增加； 綜上所述， ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ,2 3)?? ? 和 (2 3, )? ?? ， ()fx的單調(diào)遞減區(qū)間是 (2 3, 2 3)?? （Ⅱ） 22( ) 3[ ( ) 1 ]f x x a a? ? ? ? ?， 當(dāng) 210a??時， ( ) 0, ( )f x f x? ? 為增函數(shù)，故 ()fx無極值點(diǎn)； 當(dāng) 210a??時， ( ) 0fx? ? 有兩個根 22121 , 1x a a x a a? ? ? ? ? ? 由題意知， 22 1 3aa? ? ? ?①或 22 1 3aa? ? ? ?② ① 式無解，②式的解為 5543a?? 因此 a 的取值范圍是 5543??????， . 8 (2020，山東理，第 10 題 ) 已知 ??fx是 R 上最小正周期為 2 的周期函數(shù)，且當(dāng) 0 2x? 時 , ? ? 3=f x x x? ,則函數(shù) ? ?=yf x 的圖象在區(qū)間 [0,6]上與 x 軸的交點(diǎn)的個數(shù)為 .. .. （ A） 6 （ B） 7 （ C） 8 （ D） 9 【答案】 B 【解析】因?yàn)楫?dāng) 0 2x? 時 , ? ? 3=f x x x? ,又因?yàn)???fx是 R 上最小正周期為 2 的周期函數(shù)，且? ?0=0f ,所以 ? ? ? ? ? ? ? ?6 = 4 = 2 = 0 = 0f f f f,又因?yàn)???1=0f ,所以 ? ?3=0f , ? ?5=0f ,故函數(shù) ? ?=yf x 的圖象在區(qū)間 [0,6]上與 x 軸的交點(diǎn)的個數(shù)為 7 個 ,選 B. 9（ 2020，安徽理，第 19 題） 設(shè)函數(shù) 1( ) ( 0 )xxf x a e b aae? ? ? ? （ I）求 ()fx在 [0, )?? 上的最小值； （ II）設(shè)曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (2, (2))f 處的切線方程 為 32yx? ；求 ,ab的值 ? 【答案】 （Ⅰ）設(shè) t=ex（ t≥ 1），則 y=at+1at +b∴ y′ = 222 1atat? ① a≥ 1 時， y′＞ 0，∴ y=at+1at +b 在 t≥ 1 上是增函數(shù)， ∴當(dāng) t=1（ x=0）時， f（ x）的最小值為 y=a+1at +b ②當(dāng) 0＜ a＜ 1 時， y=at+1at +b≥ 2+b，當(dāng)且僅當(dāng) at=1（ x=lna）時， f（ x）的最小值為 b+2； （Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，可得 f′ (x)=aex 1Xae ∵曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 2， f（ 2））處的切線方程為 y=32 x， ∴ (2) 3339。(2) 2ff???? ???，即22221321 3ae aeae bae? ?????? ? ? ???，解得 2212a eb? ????? ???． 【備考策略】 4,5 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，并且經(jīng)常作 為壓軸題出現(xiàn)，所占分值比較高。但是在這 4代銀 .一道高考填空題的再探究 [J].數(shù)學(xué)通訊 ,2020,(10):23. 5劉美良 .由一道高考數(shù)學(xué)題引發(fā)的探究與思考 [J].上海中學(xué)數(shù)學(xué) ,2020,(9):3335. .. .. 部分中也經(jīng)?？疾楹芏嗷A(chǔ)類的知識，比如利用導(dǎo)數(shù)求切線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性等等。因此在這一部分的備考復(fù)習(xí)中，還應(yīng)從基礎(chǔ)抓起，熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)以及求導(dǎo)數(shù)的方法。而對于壓軸題中出現(xiàn)的對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，往往是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和其他知識板塊，如不等式、數(shù)列等的結(jié)合，綜合考查函數(shù)圖像性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性、周期性等知識點(diǎn)。因此考生復(fù)習(xí)時不能只將重心放在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)部，還要在注意其與其他知識點(diǎn)的結(jié)合，這也是今年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。 【我們的工作】 系統(tǒng) ?TPS 系統(tǒng)與 真題對照 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 項目 TPS 2020 真題 題目總數(shù) 5010 65 相似題目數(shù) 2535 53 相似題號 S00508840 2020 安徽文第 20 題 S00508748 2020 湖南文第 21 題 S00502476 2020 重慶理第 17 題 S00502485 2020 山東第理 21 題 ???? ???? .. .. 相似題例證 2020 真題 2020 年，福建文，第 22 題 已知函數(shù) ? ? ? ?1ee xaf x x a R? ? ? ? ， 為 自 然 對 數(shù) 的 底 數(shù)． （Ⅰ）若曲線 )(xfy? 在點(diǎn) ))1(,1( f 處的切線平行于 x 軸，求 a 的值； （Ⅱ）求函數(shù) ??fx的極值； （Ⅲ）當(dāng) 1a? 時，若直線 l ： 1y kx??與曲線 ? ?y f x? 沒有公共點(diǎn)，求 k 的最大值． TPS 系統(tǒng) S00482596 已知函數(shù) ? ? ? ? ? ?3 2l n 2 1 23xf x a x x a x a R? ? ? ? ? ?． （ 1）若 2x? 為 ??fx的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的值； （ 2）若 ? ?y f x? 在 ? ?3,?? 上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 3）當(dāng) 1=2a ?時，方程 ? ? ? ?311 3x bfx x?? ? ?有實(shí)根， 求實(shí)數(shù) b 的最大值． 高分策略是新東方優(yōu)能推廣管理中心為全國各地考生精心打造出的一套優(yōu)秀的高考復(fù)習(xí)系列叢書，其中高考數(shù)學(xué)分文理兩本，每本共十四專題。 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考的必考點(diǎn)，也是綜合性很強(qiáng)的考點(diǎn)，針對高考，《高分策略》將函數(shù)和導(dǎo)數(shù)作為兩大專題進(jìn)行了詳盡的解說，不僅有知識要點(diǎn)等基礎(chǔ)的普及，還有考查目標(biāo)、考點(diǎn)的概括。下圖為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)兩章節(jié)部分截圖。 .. .. ?高分策略與真題對照 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 項目 高分策略 2020 真題 題目總數(shù) 46 57 相似題目數(shù) 33 32 相似題號 27 3 湖南理 16 24 8 遼寧理 12 23 6 廣東文 2 23 5 四川文 11 ?? ?? 相似題例證 2020 真題 2020，課標(biāo)全國文，第 20 題 已知函數(shù) xxbaxexf x 4)()( 2 ???? ，曲線 ? ?=yf x 在點(diǎn)（ 0， f(0)）處的切線方程為 44 ?? xy （ I）求 a,b 的值； （ II）討論 f(x)的單調(diào)性，并求 f(x)的極大值 .. .. 高分策略 設(shè)定義域?yàn)?R 的奇函數(shù) y=f（ x）在區(qū)間（﹣∞， 0）上是減函數(shù)． （ 1）求證：函數(shù) y=f（ x）在區(qū)間（ 0， +∞）上是單調(diào)減函數(shù)； （ 2）試構(gòu)造一個滿足上述題意且在（﹣ ∞ ， +∞ ）內(nèi)不是單調(diào)遞減的函數(shù)．（不必證明） 高考預(yù)測卷是新東方優(yōu)能推廣管理中心隊旗下的一系列高考叢書，其中數(shù)學(xué)預(yù)測卷分文理卷，每卷共五套題，預(yù)測題緊扣高考大綱和考試說明。下圖為高考預(yù)測卷及有關(guān)切片截圖。 ?高考預(yù)測卷與 真題對照 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 項目 高考預(yù)測卷 2020 真題 題目總數(shù) 93 57 相似題目數(shù) 70 46 相似題號 文科模擬卷 I 6 2020 福建文第 12 題 理科模擬卷 II 20 2020 新課標(biāo) 1 理第 11 題 理科模擬卷 III 19 2020 重慶理第 17 題 文科模擬卷 VI 21 2020 山東文第 21 題 ???? ???? 相似題例證 2020 真題 2020，安徽理，第 17 題 .. .. 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?22= 1+f x ax a x? ，其中 a0 區(qū)間 ? ?? ?0I x f x? （Ⅰ）求 I 的長度（注：區(qū)間（α，β））的長度定義為β α （Ⅱ）給定常數(shù) ? ?1,0?k ，當(dāng) kak ???? 11 時求 I 長度的最小值。 高考預(yù)測卷 山東 21 已知函數(shù) ? ? ? ?? ?= 2 1 2f x a x ln x? ? ? （ 1）當(dāng) =1a 時，求 ??fx的單調(diào)區(qū)間； （ 2）對任意的 102x,???????， ? ?0fx 恒成立，求 a 的最小值 . .. .. ★★ 三角函數(shù)專題 ★★ 【規(guī)律總結(jié)】 在高考數(shù)學(xué)的考試中，三角函數(shù)占了很大的比重，它考查的內(nèi)容主要有：三角函數(shù)的概念，包括任意角的概念和弧度制，任意三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；同角三角函數(shù)的關(guān)系，有平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系；誘導(dǎo)公