【正文】 圖 ,△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=AC,AD⊥ BC,垂足是 D,AE平分 ∠ BAD,交 BC于點 △ ABC外有一點 F,使 FA⊥ AE,FC⊥ BC. (1)求證 :BE=CF。 (2)在 AB上取一點 M,使 BM=2DE,連接 MC,交 AD于點 N,連接 ME. 求證 :① ME⊥ BC。② DE=DN. ? 證明 如圖 . ? (1)∵∠ BAC=90176。,AF⊥ AE, ∴∠ 1+∠ EAC=90176。,∠ 2+∠ EAC=90176。, ∴∠ 1=∠ 2.? (1分 ) 又 ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ ACB=45176。. ∵ FC⊥ BC, ∴∠ FCA=90176。∠ ACB=90176。45176。=45176。, ∴∠ B=∠ FCA,? (2分 ) ∴ △ ABE≌ △ ACF(ASA).? (3分 ) ∴ BE=CF.? (4分 ) (2)①過 E作 EG⊥ AB于點 G. ∵∠ B=45176。,∴ △ GBE是等腰直角三角形 , ∴ BG=EG,∠ 3=45176。.? (5分 ) ∵ AD⊥ BC,AE平分 ∠ BAD,∴ EG=ED,∴ BG=ED. ∵ BM=2ED,∴ BM=2BG,即 G是 BM的中點 .? (6分 ) ∴ 直線 EG是 BM的垂直平分線 ,∴ EB=EM, ∴∠ 4=∠ 3=45176。, ∴∠ MEB=∠ 4+∠ 3=45176。+45176。=90176。,即 ME⊥ BC.? (7分 ) ② ∵ AD⊥ BC,∴ ME∥ AD,∴∠ 5=∠ 6. ∵∠ 1=∠ 5,∴∠ 1=∠ 6,∴ AM=EM. ∵ MC=MC,∴ Rt△ AMC≌ Rt△ EMC(HL),? (8分 ) ∴∠ 7=∠ 8. ∵∠ BAC=90176。,AB=AC,∴∠ ACB=45176。,∠ BAD=∠ CAD=45176。, ∴∠ 5=∠ 7=176。,AD=CD. ∵∠ ADE=∠ CDN=90176。,∴ △ ADE≌ △ CDN(ASA),? (9分 ) ∴ DE=DN.? (10分 ) 評析 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì) ,等腰直角三角形的判定與性質(zhì) ,角平分線的性質(zhì) 定理 ,構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵 . 16.(2022浙江溫州 ,22,8分 )勾股定理神秘而美妙 ,它的證法多樣 ,其巧妙各有不同 ,其中的“面積 法”給了小聰以靈感 .他驚喜地發(fā)現(xiàn) :當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖 1或圖 2擺放時 ,都可以用 “面積法”來證明 .下面是小聰利用圖 1證明勾股定理的過程 : 將兩個全等的直角三角形按圖 1所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。.求證 :a2+b2=c2. ? 圖 1 證明 :連接 DB,過點 D作 BC邊上的高 DF,則 DF=EC=ba. ∵ S四邊形 ADCB=S△ ACD+S△ ABC=? b2+? ab,又 ∵ S四邊形 ADCB=S△ ADB+S△ DCB=? c2+? a(ba),∴ ? b2+? ab=? c2+? a (ba), ∴ a2+b2=c2. 12 12 12 12 12 12 12 12請參照上述證法 ,利用圖 2完成下面的證明 . ? 圖 2 將兩個全等的直角三角形按圖 2所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。. 求證 :a2+b2=c2. 證明 :連接 . ∵ S五邊形 ACBED= , 又 ∵ S五邊形 ACBED= , ∴ . ∴ a2+b2=c2. 證明 連接 BD,過點 B作 DE邊上的高 BF,則 BF=ba, ∵ S五邊形 ACBED=S△ ACB+S△ ABE+S△ ADE =? ab+? b2+? ab, 又 ∵ S五邊形 ACBED=S△ ACB+S△ ABD+S△ BDE =? ab+? c2+? a(ba), ∴ ? ab+? b2+? ab=? ab+? c2+? a(ba), ∴ a2+b2=c2. 12 12 1212 12 1212 12 12 12 12 12評析 本題主要考查勾股定理的證明 ,表示出五邊形面積是解題關(guān)鍵 . 考點一 等腰三角形 1.(2022鄭州一模 ,13)已知三個邊長分別為 1,2,3的正三角形從左到右如圖排列 ,則圖中陰影部 分面積為 . 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 答案 ? 534解析 如圖 ,根據(jù)題意得 ,BG∥ EC, ? ∠ HBG=∠ FCE=60176。. 在△ ACE中 ,AB+BC=1+2=3, ∴ AC=EC=3. ∵∠ ACE=120176。,∴∠ 1=30176。. ∵ BG∥ CE,∴∠ 1=∠ 2=30176。, ∴ BG=AB=1,∴∠ GHB=∠ EFC=90176。, ∴ S△ EFC+S△ GHB=? ? 32+? ? 12=? ,即 S陰影 =? . 12 34 12 34 534 534解題關(guān)鍵 依據(jù)條件 ,判斷出兩個三角形△ GHB和△ EFC是含 30176。角的直角三角形 ,由等腰三 角形的性質(zhì)得出斜邊 GB的長 ,進而求得兩個直角三角形的面積 . 2.(2022濮陽一模 ,5)如圖 ,已知△ ABC,ABBC,用尺規(guī)作圖的方法在 BC上取一點 P,使得 PA +PC= BC,則下列選項正確的是 ? ( ) ? 答案 D 由作圖知選項 D中的點 P在線段 AB的垂直平分線上 ,所以 PB=PA ,∵ BP+PC=BC,∴ PA +PC= D. 思路分析 根據(jù)作圖痕跡判斷作出的點 P的特點 ,判斷是否符合 PA +PC=BC. 1. (2022鄭州一模 ,5)如圖 ,已知△ ABC(ACBC),用尺規(guī)在 BC邊上確定一點 P,使得 PA +PC=BC, 則下列四種不同的作圖方法中正確的是 ? ( ) ? ? 考點二 直角三角形 答案 D 由題意知 PA =PB,根據(jù)作圖方法可知 ,選項 D的作圖所表示的是點 P在線段 AB的垂 直平分線上 ,即 PA = D. 2.(2022焦作一模 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,∠ A=30176。,BC= DE是△ ABC的中位線 ,延長 DE交 ∠ ACM的平分線于點 F,則 DF的長為 ? ( ) ? 答案 A 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=30176。,BC=4,∴ AC=2BC=8, ∵ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE=? BC=2,EC=4. ∵ DF∥ BM, ∴∠ EFC=∠ FCM. ∵ CF平分 ∠ ACM, ∴∠ ECF=∠ FCM, ∴∠ ECF=∠ EFC, ∴ EF=EC=4, ∴ DF=DE+EF= A. 123.(2022安陽二模 ,12)如圖 ,BD是矩形 ABCD的一條對角線 ,點 E、 F分別是 BD、 DC的中點 ,若 AB =4,BC=3,則 AE+EF的長為 . ? 答案 4 解析 在矩形 ABCD中 ,∠ C=∠ DAB=90176。,點 E、 F分別是 BD、 DC的中點 ,∵ EF=? BC=? ,AE=? BD,且 BD=? =5,∴ AE=? ,∴ AE+EF=4. 12 321222AD AB?524.(2022平頂山一模 ,15)在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點 ,分別沿斜邊中點與這 兩點的連線剪去兩個三角形 ,剩下的部分是如圖所示的四邊形 ,AB∥ CD,CD⊥ BC于 C,且邊 AB, BC,CD的長分別為 2,4,3,則原直角三角形紙片的斜邊長是 . ? 解析 根據(jù)題意得點 B或點 C可以為直角三角形的頂點 . ①當(dāng)點 B為直角三角形的頂點時 ,如圖 1,在 Rt△ BCD中 ,BD=? =5, ∵ D為斜邊 EF的中點 ,∴ EF=2DB=10。 ②當(dāng)點 C為直角三角形的頂點時 ,如圖 2,在 Rt△ ABC中 ,AC=? =2? ,∵ A為斜邊 EF的 中點 ,∴ EF=2AC=4? . 綜上所述 ,原直角三角形紙片的斜邊長是 4? 或 10. ? 22DC BC?22AB BC? 555答案 10或 4? 55.(2022鄭州一模 ,15)如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AC=3,BC=4,將邊 AC沿直線 CE翻折 ,使點 A落 在 AB邊上的點 D處 。再將邊 BC沿直線 CF翻折 ,使點 B落在 CD邊的延長線上的點 B39。處 ,兩條折痕 與斜邊 AB分別交于點 E,F,線段 B39。F的長為 . ? 答案 ? 45解析 在 Rt△ ABC中 ,AC=3,BC=4,由勾股定理 ,得 AB=5,由圖形的翻折性質(zhì) ,得 ∠ A=∠ 1,∠ 2= ∠ 3=90176。,CD=AC=3,∠ B=∠ B39。,CB39。=CB=4,∵∠ 1=∠ A,∠ 2=∠ ACB=90176。, ∴ △ CED∽ △ BCA,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ ED=? . 在 Rt△ CDE中 ,CE=? =? , CDBA EDCA 35 3ED 9522 935??? ????125∵∠ 1=∠ 4,∠ 1=∠ A,∴∠ A=∠ 4, ∵∠ A+∠ B=90176。,∴∠ A+∠ B39。=90176。. ∴∠ 4+∠ B39。=90176。,即 ∠ B39。FD=90176。, ∵∠ B39。FD=∠ 2=90176。,∠ 1=∠ 4,∴ △ CED∽ △ B39。FD.∴ ? =? ,∵ B39。D=43=1,∴ ? =? , ∴ B39。F=? . 39。CEBF 39。CDBD12539。BF31456.(2022許昌一模 ,22) (1)觀察猜想 如圖① ,點 B、 A、 C在同一條直線上 ,DB⊥ BC,EC⊥ BC且 ∠ DAE=90176。,AD=AE,則 BC、 BD、 CE 之間的數(shù)量關(guān)系為 。 (2)問題解決 如圖② ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,CB=4,AB=2,以 AC為直角邊向外作等腰 Rt△ DAC,連接 BD,求 BD的長 。 (3)拓展延伸 如圖③ ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=∠ ADC=90176。,CB=4,AB=2,DC=DA,請寫出 BD的長 . ? 解析 (1)BC=BD+CE. (2)如圖 1,過 D作 DE⊥ AB,交 BA的延長線于 E, ∵∠ ABC=90176。,∠ DAC=90176。, ∴∠ BCA+∠ CAB=∠ CAB +∠ DAE =90176。, ? ∴∠ BCA =∠ EAD. ∵∠ CBA=∠ EAD=90176。,AD=AC, ∴ △ ABC≌ △ DEA, ∴ DE=AB=2,AE=BC=4, BE=6, 在 Rt△ BDE中 ,由勾股定理得 ,BD=?=2 ? . (3)如圖 2,過 D作 DE⊥ BC于 E,作 DF⊥ AB于 F, ? 同理得△ CED≌ △ AFD, ∴ CE=AF,ED=DF, 設(shè) AF=x,DF=y, 則 ? 解得 ? ∴ BF=2+1=3,DF=3, 在 Rt△ BDF中 ,由勾股定理得 ,BD=? =3? . 2262? 104,2,xyxy???? ??? 1,3,xy ??? ??2233? 27.(2022開封一模 ,22)在△ ABC中 ,∠ ACB為銳角 ,點 D為射線 BC上一動點 ,連接 AD,將線段 AD繞 點 A逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到 AE,連接 EC. 問題發(fā)現(xiàn) : (1)如果 AB=AC,∠ BAC=90176。,當(dāng)點 D在線段 BC上時 (不與點 B重合 ),如圖 1,請你判斷線段 CE與 BD 之間的 ? 關(guān)系和 ? 關(guān)系 : (直接寫出結(jié)論 )。 拓展探究 : (2)如果 AB=AC,∠ BAC=90176。,當(dāng)點 D在線段 BC的延長線上時 ,如圖 2,請判斷 (1)中的結(jié)論是否仍然 成立 ,如成立 ,請證明你的結(jié)論 . 問題解決 : (3)如圖 3,AB≠ AC,∠ BAC≠ 90176。,若點 D在線段 BC上運動 ,試探究 :當(dāng)銳角 ∠ ACB等于 度 時 ,線段 CE和 BD之間的位置關(guān)系仍然成立 (點 C、 E重合除外 ).此時若作 DF⊥ AD交線段 CE于 點 F,AC=3? ,線段 CF長的最大值是 . ??位 置 ??數(shù) 量2解析 (1)CE⊥ BD,CE=BD.? (2分 ) (2)成立 ,理由如下 : ∵ AE是由 AD旋轉(zhuǎn)得到的 , ∴ AE=AD, ∵∠ BAC=90176。,∠ EAD=90176。, ∴∠ BAD=∠ CAE, 又 ∵ AB=AC,∴ △ BAD∽ △ CAE(SAS). ∴ CE=BD,∠ ACE=∠ B, ∵∠ B+∠ ACB=90176。, ∴∠ ACE+∠ ACB=90176。.∴∠ BCE=90176。, ∴ BD⊥ CE.? (6分 ) (3)45。? .? (10分 ) 34B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :45分鐘 分值 :55分 ) 一、選擇題（每題 3分，共 6分） 1.