【正文】 圖 ,正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于☉ O,☉ O的半徑為 1,則 ? 的長為 . ? AB︵答案 ? 3?解析 連接 AO,BO,∵ 六邊形 ABCDEF為正六邊形 , ∴∠ AOB=360176。? =60176。, ∴ ? 的長為 ? =? . 16AB︵ 60 1180??? 3?評析 本題考查弧長公式 ,利用正多邊形的性質(zhì)求出弧長所對圓心角的度數(shù)是解題關(guān)鍵 . 考點二 平行四邊形 1.(2022柳州柳江二模 ,22)如圖 ,在 ?ABCD中 ,點 E在邊 BC上 ,點 F在邊 AD的延長線上 ,且 DF=BE, EF與 CD交于點 G. (1)求證 :BD∥ EF。 (2)若 BE=4,EC=6,△ DGF的面積為 8,求 ?ABCD的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC. ∵ DF=BE, ∴ 四邊形 BEFD是平行四邊形 ,? (1分 ) ∴ BD∥ EF.? (2分 ) (2)∵ 四邊形 BEFD是平行四邊形 , ∴ DF=BE=4.? (3分 ) AD=BC=BE+EC=4+6=10,? (4分 ) ∵ DB∥ EF,AB∥ CD, ∴∠ F=∠ ADB,∠ A=∠ FDC, ∴ △ DFG∽ △ ADB,? (5分 ) ∴ ? =? =? =? ,? (6分 ) ∵ S△ DFG=8,∴ S△ ADB=50,? (7分 ) ∴ S平行四邊形 ABCD=2S△ ADB=502=100.? (8分 ) DFGADBSS 2DFAD??????2410??????4252.(2022柳州城中模擬 ,24)如圖 ,四邊形 ABCD是矩形 ,點 E在 CD邊上 ,點 F在 DC延長線上 ,AE=BF. (1)求證 :四邊形 ABFE是平行四邊形 。 (2)若 ∠ BEF=∠ DAE,AE=3,BE=4,求 EF的長 . 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AD=BC,∠ D=∠ BCD=90176。.∴∠ BCF=180176。∠ BCD=18 0176。90176。=90176。. ∴∠ D=∠ BCF. 在 Rt△ ADE和 Rt△ BCF中 ,? ∴ Rt△ ADE≌ Rt△ BCF. ∴∠ 1=∠ F.∴ AE∥ BF. ∵ AE=BF,∴ 四邊形 ABFE是平行四邊形 . ? (2)∵∠ D=90176。,∴∠ DAE+∠ 1=90176。. ,A E B FA D B C??? ??∵∠ BEF=∠ DAE,∴∠ BEF+∠ 1=90176。. ∵∠ BEF+∠ 1+∠ AEB=180176。,∴∠ AEB=90176。. 在 Rt△ ABE中 ,AE=3,BE=4,AB=? =? =5. ∵ 四邊形 ABFE是平行四邊形 , ∴ EF=AB=5. 22AE BE? 2234?3.(2022百色一模 ,22)在平行四邊形 ABCD中 ,已知 E,F,G,H分別是 AB,BC,CD,DA上的點 ,且 BE= DG,∠ BFE=∠ DHG. 求證 :(1)△ BEF≌ △ DGH。 (2)四邊形 EFGH是平行四邊形 . ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴∠ D=∠ B, 在△ DGH和△ BEF中 ,? ∴ △ BEF≌ △ DGH(AAS). (2)由 (1)知 HG=EF,∠ 3=∠ 4, 連接 GE. ∵ DC∥ AB,∴∠ DGE=∠ BEG, ∴∠ DGE∠ 3=∠ BEG∠ 4,∴∠ 1=∠ 2, ∴ HG∥ EF. ∵ HG?? EF,∴ 四邊形 EFGH是平行四邊形 . ,DBD H G B F ED G B E? ? ???? ? ??? ??4.(2022柳州柳江一模 ,20)如圖 ,四邊形 ABCD是平行四邊形 ,AE平分 ∠ BAD,交 DC的延長線于點 :DA=DE. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AB∥ CD.∴∠ BAE=∠ E. ∵ AE平分 ∠ BAD,∴∠ BAE=∠ DAE. ∴∠ E=∠ DAE,∴ DA=DE. B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :30分鐘 分值 :40分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 15分 ) 1.(2022柳州一模 ,12)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ A=∠ B=60176。,∠ D=90176。,AB=2,則 CD長的取值范圍 是 ? ( ) ? A.? CD? 2 CD2 CD? 2 33答案 D 延長 AD,BC交于點 E, ∵∠ A=∠ B=60176。,∴ △ ABE為等邊三角形 , ∴ EB=AB=2,∠ E=60176。, ∴ DC=? EC. 而 0EC2, ∴ 0DC? ,故選 D. 3232.(2022貴港覃塘一模 ,6)平面直角坐標系中 ,已知平行四邊形 ABCD的三個頂點的坐標分別是 A (m,n)(m2+n2≠ 0),B(2,1),C(m,n),則點 D的坐標是 ? ( ) A.(2,1) B.(2,1) C.(1,2) D.(1,2) 答案 A ∵ 點 A和點 C關(guān)于原點對稱 ,∴ 點 B和點 D也關(guān)于原點對稱 ,∴ 點 D的坐標為 (2,1),故 選 A. 思路分析 根據(jù)平行四邊形為中心對稱圖形即可得出點 D的坐標 . 評析 本題主要考查的是平行四邊形的中心對稱性 ,屬于基礎(chǔ)題型 .解決這個問題的關(guān)鍵就是 找出平行四邊形的對稱中心 . 3.(2022北部灣經(jīng)濟區(qū)導(dǎo)航模擬 ,12)如圖 ,正六邊形 A1B1C1D1E1F1的邊長為 2,正六邊形 A2B2C2D2E2 F2的外接圓與正六邊形 A1B1C1D1E1F1的各邊相切 ,正六邊形 A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形 A2 B2C2D2E2F2的各邊相切 ,…… ,按這樣的規(guī)律進行下去 ,A11B11C11D11E11F11的邊長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 92432 98 1 3282432 88 1 32答案 A 連接 OE1,OD1,OD2,如圖 , ? ∵ 六邊形 A1B1C1D1E1F1為正六邊形 , ∴∠ E1OD1=60176。, ∴ △ E1OD1為等邊三角形 , ∵ 正六邊形 A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形 A1B1C1D1E1F1的各邊相切 , ∴ OD2⊥ E1D1, ∴ OD2=? E1D1=? 2, ∴ 正六邊形 A2B2C2D2E2F2的邊長 =? 2, 32 3232同理可得正六邊形 A3B3C3D3E3F3的邊長 =? 2, 則正六邊形 A11B11C11D11E11F11的邊長 =? 2=? . 故選 A. 232??????1032??????92432評析 本題考查了正多邊形與圓的位置關(guān)系 :把一個圓分成 n(n是大于 2的自然數(shù) )等份 ,依次連 接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形 ,這個圓叫做這個正多邊形的外接圓 . 4.(2022四市同城模擬 ,11)如圖 ,在 ?ABCD中 ,AB2BC,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡 ,下列結(jié)論 ? 的是 ? ( ) ? ∠ ABC =BF =CH =DH ??錯 誤答案 D 易知 A、 B、 C均正確 ,由平行四邊形及角平分線的性質(zhì)得 CH=BC,又 AB2BC, ∴ DHCH,∴ D不正確 ,選 D. 5.(2022欽州一模 ,11)在△ ABC中 ,AB=3,BC=4,AC=2,D、 E、 F分別為 AB、 BC、 AC的中點 ,連接 DF、 FE,則四邊形 DBEF的周長是 ? ( ) ? 答案 B ∵ D、 F分別為 AB、 AC的中點 , ∴ DF∥ BC,DF=? BC, ∵ BC=4,∴ DF=2, 又 ∵ E為 BC的中點 , ∴ BE=2. 同理可得 ,EF=? ,DB=? , ∴ 四邊形 DBEF的周長 =DB+EF+DF+BE= B. 1232 32二、填空題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 6.(2022柳州一模 ,16)如圖 ,E是 ?ABCD的邊 AD上一點 ,AE=? ED,CE與 BD相交于點 F,BD=10,那 么 DF= . ? 12答案 4 解析 在 ?ABCD中 ,AD?? BC,∵ AE=? ED,∴ AD=? ED, 由 ? =? =? 得 BF=? DF, ∴ DF+? DF=10,∴ DF=4. 12 32EDBC DFBF 23 32327.(2022南寧三美學(xué)校模擬 ,18)如圖 ,將邊長為 a的正六邊形 A1A2A3A4A5A6在直線 l上由初始位置 按順時針方向向右作無滑動滾動 ,當 A1第一次滾動到如圖所示的位置時 ,頂點 A1所經(jīng)過的路徑 的長為 . 答案 ? πa 4 2 33?解析 連接 A1A5,A1A4,A1A3,作 A6C⊥ A1A5,如圖 , ? ∵ 六邊形 A1A2A3A4A5A6為正六邊形 , ∴ A1A4=2a,∠ A1A6A5=120176。, ∴∠ CA1A6=30176。, ∴ A6C=? a,A1C=? a, ∴ A1A5=A1A3=? a, 當 A1第一次滾動到題圖位置時 ,頂點 A1所經(jīng)過的路徑分別是以 A6,A5,A4,A3,A2為圓心 ,以 a,? a,2a, 12 3233? a,a為半徑 ,圓心角都為 60176。的五條弧 , ∴ 頂點 A1所經(jīng)過的路徑的長 =? +? +? +? +? =? πa. 360180a??? 60 2180 a??? 60 3180 a??? 60 3180 a??? 60180a??? 4 2 33?評析 本題考查了弧長公式 :l=? ,也考查了正六邊形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) . 180nR?三、解答題 (共 19分 ) 8.(2022四市同城一模 ,21)如圖 ,在 ?ABCD中 ,AE平分 ∠ BAD,交 BC于點 E. (1)在 AD上求作點 F,使點 F到 CD和 BC的距離相等 (要求 :尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)判斷四邊形 AECF是什么特殊四邊形 ,并說明理由 . ? 解析 (1)點 F即為所求作的點 . ? (2)四邊形 AECF是平行四邊形 . 由題意可知 ,AE,CF分別平分 ∠ BAD與 ∠ BCD, ∴∠ FAE=? ∠ BAD,∠ ECF=? ∠ BCD, ∵ 平行四邊形 ABCD中 ,∠ BAD=∠ BCD,∴∠ FAE=∠ ECF, 又 ∵ 平行四邊形 ABCD中 ,AD∥ BC, ∴∠ BCF=∠ DFC,∴∠ FAE=∠ DFC,∴ AE∥ FC, ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 . 12 129.(2022欽州一模 ,22)如圖 ,四邊形 ABCD中 ,對角線 AC,BD相交于點 O,點 E,F分別在線段 OA,OC 上 ,且 OB=OD,∠ 1=∠ 2,AE=CF. (1)證明 :△ BEO≌ △ DFO。 (2)證明 :四邊形 ABCD是平行四邊形 . ? 證明 (1)∵∠ EOB與 ∠ FOD是對頂角 , ∴∠ EOB=∠ FOD, 在△ BEO和△ DFO中 , ? ∴ △ BEO≌ △ DFO. (2)由 (1)知△ BEO≌ △ DFO, ∴ OE=OF, 又 ∵ AE=CF, ∴ OA=OC, 又 ∵ OB=OD, ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 . 1 2 ,O B O DE O B F O D? ? ??????? ? ??