【正文】 知 :如圖 ,平行四邊形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O,點(diǎn) E在邊 BC的延長(zhǎng)線 上 ,且 OE=OB,連接 DE. (1)求證 :DE⊥ BE。 (2)如果 OE⊥ CD,求證 :BDCE=CDDE. ? 證明 (1)∵ OE=OB,∴∠ OBE=∠ OEB. ∵ 平行四邊形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O, ∴ OB=OD. ∴ OE=OD.∴∠ ODE=∠ OED. 在△ BDE中 ,∵∠ OBE+∠ OEB+∠ OED+∠ ODE=180176。, ∴∠ BED=90176。,即 DE⊥ BE. (2)∵ OE⊥ CD,∴∠ CDE+∠ DEO=90176。. 又 ∵∠ CEO+∠ DEO=90176。, ∴∠ CDE=∠ CEO. ∵∠ OBE=∠ OEB,∴∠ OBE=∠ CDE. ∵∠ BED=∠ DEC,∴ △ DBE∽ △ CDE. ∴ ? =? . ∴ BDCE=CDDE. BDCD DECE17.(2022黑龍江哈爾濱 ,24,8分 )如圖 1,?ABCD中 ,點(diǎn) O是對(duì)角線 AC的中點(diǎn) ,EF過(guò)點(diǎn) O,與 AD,BC 分別相交于點(diǎn) E,F,GH過(guò)點(diǎn) O,與 AB,CD分別相交于點(diǎn) G,H,連接 EG,FG,FH,EH. (1)求證 :四邊形 EGFH是平行四邊形 。 (2)如圖 2,若 EF∥ AB,GH∥ BC,在不添加任何輔助線的情況下 ,請(qǐng)直接寫出圖 2中與四邊形 AGHD面積相等的所有平行四邊形 (四邊形 AGHD除外 ). ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ EAO=∠ FCO.? (1分 ) ∵ OA=OC,∠ AOE=∠ COF, ∴ △ OAE≌ △ OCF,∴ OE=OF,? (2分 ) 同理 ,OG=OH.? (3分 ) ∴ 四邊形 EGFH是平行四邊形 .? (4分 ) (2)?GBCH,?ABFE,?EFCD,?EGFH(答對(duì)一個(gè)給 1分 ).? (8分 ) 考點(diǎn)一 多邊形 1.(2022鎮(zhèn)平一模 ,5)如圖 ,正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于☉ O,半徑為 4,則這個(gè)正六邊形的邊心距 OM 的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? C.? ? 3 3 3三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 答案 B 如圖所示 ,連接 OB,OC, ? ∵ 多邊形 ABCDEF是正六邊形 ,∴∠ BOC=60176。. ∵ OB=OC,∴ △ BOC是等邊三角形 ,∠ OBM=60176。. ∴ OM=OBsin∠ OBM=4? =2? .故選 B. 3232.(2022開封一模 ,12)若正多邊形的一個(gè)外角是 72176。,則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是 . 答案 540176。 解析 這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 360176。247。72176。=5,則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為 (52)180176。=540176。. 3.(2022河北邯鄲一模 ,22)已知 n邊形的對(duì)角線共有 ? 條 (n是不小于 3的整數(shù) ). (1)五邊形的對(duì)角線共有 條 。 (2)若 n邊形的對(duì)角線共有 35條 ,求邊數(shù) n。 (3)若 n邊形的邊數(shù)增加 1,對(duì)角線總數(shù)增加 9,求邊數(shù) n. ( 3)2nn?解析 (1)5. (2)由題意 ,得 ? =35, 整理 ,得 n23n70=0, 解得 n1=10,n2=7(舍去 ). ∴ 邊數(shù) n為 10. (3)由題意 ,得 ? +9=? , 整理 ,得 2n=20, 解得 n=10. ∴ 邊數(shù) n為 10. ( 3)2nn?( 3)2nn? ( 1)[( 1) 3]2nn? ? ?1.(2022西華一模 ,9)如圖 ,△ ABC中 ,∠ ABC=∠ BAC,D是 AB的中點(diǎn) ,EC∥ AB,DE∥ BC,AC與 DE交 于點(diǎn) ,不一定成立的是 ? ( ) ? =DE =AC =EC =OE 考點(diǎn)二 平行四邊形 答案 B ∵ EC∥ AB,DE∥ BC, ∴ 四邊形 BDEC是平行四邊形 , ∴ BD=CE,∠ B=∠ E. 又 ∵∠ ABC=∠ BAC, ∴∠ CEO=∠ DAO. 又 D是 AB的中點(diǎn) , ∴ AD=BD,AD=CE, ∴ △ AOD≌ △ EOC, ∴ AD=CE,OA=OE. ∵ BC=DE,BC=AC, ∴ AC=DE. 而 AB=AC無(wú)法證得 .故選 B. 2.(2022鄭州一模 ,6)如圖 ,已知△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,BC=3,AC=4,小紅按如下步驟作圖 :①分別 以 A,C為圓心 ,大于 ? AC的長(zhǎng)為半徑在 AC兩側(cè)作弧 ,交于兩點(diǎn) M,N。②連接 MN,分別交 AB,AC于 點(diǎn) D,O。③過(guò) C作 CE∥ AB交 MN于點(diǎn) E,連接 AE, ADCE的周長(zhǎng)為 ? ( ) ? 12答案 A 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,AB=? =5,由作圖知 MN垂直平分 AC,則 ED∥ CB,DC=? AB=? ,又 CE∥ AB,易得四邊形 ADCE為平行四邊形 ,所以四邊形 ADCE的周長(zhǎng)為 4? = 10,故選 A. 22BC AC?12 52 523.(2022洛陽(yáng)一模 ,11)如圖 ,在 ?ABCD中 ,點(diǎn) E在 BC邊上 ,且 AE⊥ BC于點(diǎn) E,DE平分 ∠ CDA,若 BE∶ EC=1∶ 2,則 ∠ BCD的度數(shù)為 . ? 答案 120176。 解析 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ ADE=∠ CED. ∵ DE平分 ∠ CDA,∴∠ ADE=∠ CDE. ∴∠ CED=∠ CDE,∴ CE=CD,設(shè) BE=x,則 EC=CD=AB=2x,在 Rt△ ABE中 ,cos B=? =? ,∴∠ B=60176。, ∴∠ C=180176。∠ B=120176。. BEAB 121.(2022駐馬店一模 ,5)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,用直尺和圓規(guī)作 ∠ BAD的平分線 AG交 BC 于點(diǎn) F,若 BE=6,AB=5,則 AF的長(zhǎng)為 ? ( ) ? B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :20分鐘 分值 :24分 ) 一、選擇題（共 3分） 答案 C 如圖 ,設(shè) AF與 BE交于點(diǎn) H. ? ∵ AF平分 ∠ BAD,AD∥ BC, ∴∠ BAF=∠ DAF=∠ AFB, ∴ AB=BF. ∵ AE=AB,AH=AH, ∴ △ ABH≌ △ AEH, ∴∠ AHB=∠ AHE=90176。,∠ ABH=∠ AEH=∠ FBH,BH=HE=3, ∴ Rt△ ABH中 ,AH=? =4, ∴ AF=2AH= C. 22AB BH?思路分析 本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì) ,先判定△ ABH≌ △ AEH,得出 ∠ AHB=∠ AHE=90176。,∠ ABH=∠ AEH=∠ FBH,BH=HE=3,再根據(jù)勾股定理可得 AH 的長(zhǎng) ,進(jìn)而得出 AF的長(zhǎng) . 2.(2022沈丘一模 ,12)如圖 ,在 ?ABCD中 ,點(diǎn) O是對(duì)角線 AC、 BD的交點(diǎn) ,AC垂直于 BC,且 AB=10 cm,AD=8 cm,則 OB= cm. ? 二、填空題 (每小題 3分 ,共 12分 ) 答案 ? 73解析 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ BC=AD=8 cm,OB=OD,OA=OC. ∵ AC⊥ BC, ∴ AC=? =? =6(cm). ∴ OC=? AC=3 cm. ∴ OB=? =? =? (cm). 22AB BC? 2210 8?1222BC OC? 2283? 73思路分析 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理 ,在 ?ABCD中 ,根據(jù)勾股定理求出 AC,得出 OC,再由勾股定理求出 OB. 3.(2022焦作一模 ,12)如圖 ,在 ?ABCD中 ,DB=DC,∠ C=58176。,AE⊥ BD于 E,則 ∠ DAE= 度 . ? 答案 32 解析 ∵ DB=DC,∴∠ DBC=∠ C=58176。. 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ ADE=∠ DBC=58176。, ∵ AE⊥ BD, ∴∠ DAE=90176?！?ADE=32176。. 4.(2022鄭州二模 ,13)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,連接 AC,按以下步驟作圖 ,分別以點(diǎn) A,C為圓 心 ,以大于 ? AC的長(zhǎng)為半徑畫弧 ,兩弧分別相交于點(diǎn) M,N,作直線 MN交 CD于點(diǎn) E,交 AB于點(diǎn) AB=5,BC=3,則△ ADE的周長(zhǎng)為 . ? 12答案 8 解析 由作圖知 MN垂直平分 AC,所以 AE=CE. 在 ?ABCD中 ,AD=BC=3,CD=AB=5, 所以 C△ ADE=AD+AE+DE=AD+CE+DE=AD+CD=8. 思路分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得 CD=AB,AD=BC,由 MN垂直平分 AC得 AE=CE,從而求得 △ ADE的周長(zhǎng) . 5.(2022許昌一模 ,10)如圖所示 ,在平行四邊形 ABCD中 ,AC與 BD相交于點(diǎn) O,E為 OD的中點(diǎn) ,連接 AE交 DC于點(diǎn) F,若 DF=2,則 FC= . ? 答案 4 解析 在 ?ABCD中 ,AB?? DC,∴ △ ABE∽ △ FDE, ∴ ? =? ,∵ E是 OD的中點(diǎn) ,BO=DO,∴ BE=3DE,∴ ? =? =? .∴ AB=3DF=6,∴ FC=DCDF= ABDF=4. ABDF BEDE ABDF BEDE31思路分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)判定△ ABE∽ △ FDE,利用相似的性質(zhì)求得 AB的長(zhǎng) ,再求 FC 的長(zhǎng) . 6.(2022新鄉(xiāng)二模 ,17)如圖 ,AC是 ?ABCD的一條對(duì)角線 ,過(guò) AC的中點(diǎn) O的直線分別交 AD,BC于 點(diǎn) E,F. ? (1)求證 :AE=CF。 (2)連接 AF,CE. ①當(dāng) EF和 AC滿足條件 : 時(shí) ,四邊形 AFCE是菱形 。 ②若 AB=1,BC=2,∠ B=60176。,則當(dāng)四邊形 AFCE為矩形時(shí) ,EF的長(zhǎng)是 . 二、解答題 (共 9分 ) 解析 (1)證明 :在 ?ABCD中 ,AD∥ BC,∴∠ EAO=∠ FCO,∠ AEO=∠ CFO. 又 ∵ AO=CO,∴ △ AOE≌ △ COF.∴ AE=CF.? (5分 ) (2)① EF⊥ AC.? (7分 ) ② ? .? (9分 ) 3思路分析 (1)根據(jù) AAS判定△ AOE≌ △ COF,得出 AE=CF。(2)①由菱形的判定定理知 ,當(dāng) EF⊥ AC時(shí) ,四邊形 AFCE為菱形 .②若 AF⊥ BC,則四邊形 AFCE是矩形 ,此時(shí) EF=AC,求得 AC的長(zhǎng)即可 . 解題關(guān)鍵 掌握平行四邊形以及特殊的平行四邊形的性質(zhì)及判定是本題的關(guān)鍵 .