排列組合與二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)教材-資料下載頁(yè)
2025-06-07 18:58本頁(yè)面
【正文】 了12個(gè)歌舞節(jié)目和8個(gè)小品、相聲節(jié)目,要從中選出9個(gè)歌舞節(jié)目和5個(gè)小品、相聲節(jié)目,排一個(gè)節(jié)目單,試問:節(jié)目單共有多少種不同的排法? 二項(xiàng)式定理一、高考要求:掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問題.二、知識(shí)要點(diǎn)::一般地,有下面的公式:這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式,其中(m=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù),式中的叫做二項(xiàng)式的通項(xiàng),用表示,即=.:(1)除每行兩端的1以外,每個(gè)數(shù)字都等于它肩上兩個(gè)數(shù)之和,即。(2)在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即。(3)如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n,那么二項(xiàng)展開式有(2n+1)個(gè)奇數(shù)項(xiàng),且中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)2n1,那么二項(xiàng)展開式有2n個(gè)偶數(shù)項(xiàng),且中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大.三、典型例題:例1: (1)如果(x+)2n展開式中,并求展開式中的常數(shù)項(xiàng)。(2)求()8展開式中的所有的有理項(xiàng).解 (1)由C2n3=C2n5,可得3+5=2n, ∴ n=4.設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則 Tk+1=C8kx8kxk=C8kx82k∴82k=0,即k=4,∴常數(shù)項(xiàng)為T5=C84=70.(2)設(shè)第k+1項(xiàng)有理項(xiàng),則因?yàn)?≤k≤8,要使∈Z,只有使k分別取0,4,:T1=x4,T5=x,T9=x2.注 (1)二項(xiàng)式展開中,要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別。(2)在二項(xiàng)展開式中求得k后,對(duì)應(yīng)的項(xiàng)應(yīng)該是k+1項(xiàng).例2:已知(1ax)n展開式的第p,p+1,p+2三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,第n+1p與第n+2p項(xiàng)的系數(shù)之和為0,而(1ax)n+1展開式的第p+1與p+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1∶2.(1)求(1ax)n+1展開式的中間項(xiàng)。(2)求(1ax)n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解 由題設(shè)得:由①得,2Cnp=Cnp+Cnp,兩邊約去Cnp,可得:2=+,由③得,2Cn+1p=Cn+1p,約去Cn+1p可得,n=3p+1解方程組,得:n=7,p=2.將p=2,n=7代入②得:C57(a)5+C76(a)6=0,解之得:a=0或3.若a=0 ,則(10x)8的中間項(xiàng)T5=0,(10x)7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T1=1.若a=3,則(13x)8的中間項(xiàng)T5=C84(3x)4=5670x4,(13x)7的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正,令 ≥1,解之得:k≤(13x)7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T7=C76(3)6x6=5103x6.注: 一般地,求(a+bx)n展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)的方法是:設(shè)第k+1項(xiàng)為系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng),則由求出k的取值范圍,從而確定第幾項(xiàng)最大.四、歸納小結(jié)::。 。(n為偶數(shù))。 (n為奇數(shù))。=.(1)求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和.(2)證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式.(3)證明整除性.①求數(shù)的末位。②數(shù)的整除性及求系數(shù)。③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問題.(4)|x|充分小時(shí),我們常用下列公式估計(jì)近似值:①(1+x)n≈1+nx②(1+x)n≈1+nx+x2(5)證明不等式.五、基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練:(一)選擇題:1. 已知等差數(shù)列中,在的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ) 2. 二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是( ) 3. 的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為( ) 4. 已知,那么等于( ) 5. 的展開式中,第五項(xiàng)是( ) A. B. C. D.6. 的展開式中,不含a的項(xiàng)是第( )項(xiàng) 7. 的展開式中的整數(shù)項(xiàng)是( ) B. 第13項(xiàng) C. 第14項(xiàng) D. 第15項(xiàng)8. 展開式中第9項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng),則n的值是( ) 9. (x2)9的展開式中,第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是( ) 10. 若的展開式中的第三項(xiàng)系數(shù)等于6,則n等于( ) 11. 多項(xiàng)式(12x)5(2+x)含x3項(xiàng)的系數(shù)是( ) 12. 在的展開式中,x6的系數(shù)是( ) 13. 在(x2+3x+2)5的展開式中,x的系數(shù)為( ) 14. (1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50展開式中x3的系數(shù)是( ) A. B. C. D. 15. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10的展開式中,含x8的系數(shù)是( ) 16. 5n+13n(n)除以3的余數(shù)是( ) 17. (a+b)n展開式中第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等,則n為( ) 18. 二項(xiàng)式(1x)4n+1的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)是( ) +1項(xiàng) B. 第2n+2項(xiàng) C. 第2n項(xiàng) D第2n+1項(xiàng)或2n+2項(xiàng) (二)填空題:19. 從1997件不同的物品中,任取1件、2件、3件、…、998件,一共有 種取法.20. 在展開式中,前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列,則n的值為 .21. 已知一數(shù)列為(n≥1),則此數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ,并計(jì)算= .22. 在的展開式中,的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項(xiàng),若實(shí)數(shù)a＞1,則a= .23. 從n件不同的物品中,任取1件,2件,3件,…,n1件,n件,其取法一共有 種.(三)解答題:24. 計(jì)算:(1)()3的近似值()。 (2)()6的近視值().25. 若(12x)5展開式中的第2項(xiàng)小于第1項(xiàng),且不小于第3項(xiàng),求實(shí)數(shù)x的取值范圍.26. 用二項(xiàng)式定理證明6363+17能被16整除. 18
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