【正文】 的交匯命題特點(diǎn) ,全面考查統(tǒng)計(jì)與概率的基本思想 和方法以及學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng) . 1 . 課標(biāo)全國卷文理科對(duì)幾何概型都未涉及 . 2 . 課標(biāo)全國卷理科對(duì)正態(tài)分布和條件概率時(shí)有涉及 ( 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ理科考查了正態(tài)分布 , 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅱ理科考查了條件概率 ) . 3 . 課標(biāo)全國卷文理科對(duì)相關(guān)關(guān)系及相關(guān)系數(shù)時(shí)有涉及 ( 2022年課標(biāo)全國卷Ⅰ文科涉及相關(guān)系數(shù) , 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科解答題涉及正相關(guān) ) . 4 . 課標(biāo)全國卷文理科的解答題常常對(duì)頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等進(jìn)行考查 . 5 . 課標(biāo)全國卷文理科的解答題有涉及回歸方程 ( 2 01 5 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科考 查了非線性回歸 , 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅱ理科考查了線性回歸 ) . 6 . 課標(biāo)全國卷文理科的解答題近五年對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)都尚未涉及 ( 201 0 年有涉及 ) . 7 . 課標(biāo)全國卷對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的考查難度相對(duì)穩(wěn)定 . 選擇、填空題均以基礎(chǔ)題呈現(xiàn) , 屬于中等難度 , 選擇題在前六題的位置 , 填空題在前兩題的位置 。 解答題屬于中等難度 , 且基本在前三題的位置 . 8 . 在解答題的情景材料呈現(xiàn)方面 , 課標(biāo)全國卷主要以圖表作為情景材料呈現(xiàn) . 201 1 年至 201 5 年全國卷以圖表為情景材料呈現(xiàn)的試題統(tǒng)計(jì)表 頻率分布表 頻率分布 直方圖 莖葉圖 散點(diǎn)圖 2022 年理 2022 年理 2022 年文 2022 年文 2022 年文 2022 年理 2022 年文 2022 年理 2022 年文 從上述統(tǒng)計(jì)表可以發(fā)現(xiàn) , 課標(biāo)全國卷對(duì)頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表特點(diǎn)的理解的考查力度是較大的 . 首先 , 從圖表中讀取數(shù)據(jù)信息 , 如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等 。 其次 , 利用概率模型 ( 古典概型、二項(xiàng)分布等 ) 做概率分析( 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差 ), 進(jìn)而作出決策 . 9 . 課標(biāo)全國卷以分布列及期望、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征為核心考點(diǎn) . 理解分布列及期望、樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的意義和 作用 , 并以此為依據(jù) , 利用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題 . 2022 年至 20 14 年課標(biāo)全國卷理科對(duì)分布列及期望均有考查 , 2022 年至 20 14 年課標(biāo)全國卷文科對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 ( 如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差 ) 均有考查 . 10 . 與其他分支相關(guān)知識(shí)融合的綜合應(yīng)用 統(tǒng)計(jì)與概率綜合應(yīng)用有兩大類 : 一類是概率與統(tǒng)計(jì)、程序設(shè)計(jì)融合 , 重在對(duì)數(shù)據(jù)處理能力的檢測(cè) 。 另一類是概率與數(shù)學(xué)其他分支相關(guān)知識(shí)融合 , 重在對(duì)綜合分析能力的檢測(cè) . 統(tǒng)計(jì)案例包括線性回歸分析和假設(shè)檢驗(yàn)兩類 , 涉及相關(guān)性檢 驗(yàn)與獨(dú)立性檢驗(yàn) , 是統(tǒng)計(jì)案例中的重要內(nèi)容 . 統(tǒng)計(jì)案例的教學(xué) , 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程 , 培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺 , 認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn) ( 如估計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性 , 統(tǒng)計(jì)推斷可能犯錯(cuò)誤 ),體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性 , 因此統(tǒng)計(jì)與案例的考查將是高考試題的一個(gè)生長點(diǎn) . 11 . 課標(biāo)全國卷文理科解答題的背景材料經(jīng)常是相近的 , 甚至是同題 ( 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ題干及問題 ( 1 ) 是一樣的 。 2 012 年課標(biāo)全國卷Ⅰ題干一樣 , 問題 ( 1 ) 只是數(shù)據(jù)不一樣 。 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ同題 ) . 12 . 古典概型概率是課標(biāo)全國卷的考查熱點(diǎn) , 對(duì)古典概型概率的考查經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題、填空題中 . 13 . 在知識(shí)交匯方面 , 課標(biāo) 全國卷常將統(tǒng)計(jì)與概率和函數(shù)交匯 ( 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科 , 2 013 年課標(biāo)全國卷Ⅱ文理科 , 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科 ) . 14. 課標(biāo)全國卷試題不拘泥于知識(shí)內(nèi)容的層次要求 , 對(duì)于看起來是“邊緣”知識(shí)的考查較為頻繁 , 課標(biāo)全國卷對(duì)相關(guān)系數(shù)、正態(tài)分布、條件概率等時(shí)有考查 ( 2 012 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文科考查相關(guān)系數(shù)、 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ理科考查正態(tài)分布 , 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅱ理科考查條件概率 ), 這揭示了我們不能忽視閱讀材料的教學(xué)、不能忽視所謂的“非主干知識(shí)”的事實(shí) . 15 . 對(duì)超幾何分布的考查 , 課標(biāo)全國卷相對(duì)弱化 . 例 15 ( 2 015 年課標(biāo)全國卷Ⅱ理 3 文 3 ) 根據(jù)下面給出的 2022年至 201 3 年我國二氧化硫年排放量 ( 單位 : 萬噸 ) 柱形圖 , 以下結(jié)論中不正確的是 ( ) . A. 逐年比較 , 2022 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 【解析】對(duì)于 A 選項(xiàng) , 由圖知從 20 07 年到 2022 年二氧化硫排放量下降得最多 , 所以 A 正確 . 對(duì)于 B 選項(xiàng) , 由圖知由 20 06 年到2022 年矩形高度明顯下降 , 所以 B 正確 . 對(duì)于 C 選項(xiàng) , 由圖知從2022 年以后除 2 011 年稍有上升外 , 其余年份都是逐年下降的 , 所以 C 正確 . 由圖知 2022 年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān) , 所以 D 不正確 , 故選 D . 【答案】 D 例 16 ( 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ理 19 文 19 ) 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi) , 需了解年宣傳費(fèi) x ( 單位 : 千元 ) 對(duì)年銷售量 y ( 單位 : t ) 和年利潤 z ( 單位 : 千元 ) 的影響 . 對(duì)近 8 年的年宣傳費(fèi) x i 和年銷售量 y i ( i= 1 , 2 , … , 8 ) 數(shù)據(jù)作了初步處理 , 得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值 . x? y? w? ∑?? = 18( x i x?)2 ∑?? = 18( w i w?)2 ∑?? = 18( x i x?)( y i y?) ∑?? = 18( w i w?)( y i y?) 46 . 6 563 6 . 8 289 . 8 1 . 6 1 469 108 . 8 表中 w i = ????, w?=18∑?? = 18w i . ( 1 ) 根據(jù)散點(diǎn)圖判斷 , y= a+ bx 與 y=c +d ?? 哪一個(gè)適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程類型 ?( 給出判斷即可 , 不必說明理由 ) ( 2 ) 根據(jù) ( 1 ) 的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù) , 建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程 . ( 3 ) 已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x , y 的關(guān)系為 z= 0 . 2 y x. 根據(jù)( 2 ) 的結(jié)果回答下列問題 : ① 年宣傳費(fèi) x= 49 時(shí) , 年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少 ? ② 年宣傳費(fèi) x 為何值時(shí) , 年利潤的預(yù)報(bào)值最大 ? 附 : 對(duì)于一組數(shù)據(jù) ( u 1 , v 1 ), ( u 2 , v 2 ), … ,( u n , v n ), 其回歸直線 v=α + β u 的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 ??^=∑?? = 1??( u i u?)( v i y?)∑?? = 1??( u i u?)2, α^= v? ??^u?. 【解析】 ( 1 ) 由散點(diǎn)圖可以判斷 , y =c+d ?? 適宜作為年銷售量y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程類型 . ( 2 ) 令 w= ?? , 先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程 . 由于 ??^=∑?? = 18( ???? w?)( ???? y?)∑?? = 18( ???? w?)2=108 . 81 . 6= 68 , ??^= y? ??^w?= 563 68 179。 6 . 8 = 100 . 6 , 所以 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程為 ??^= 100 . 6 + 68 w , 因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為 ??^= 100 . 6 + 68 ?? . ( 3 ) ① 由 ( 2 ) 知 , 當(dāng) x= 49 時(shí) , 年銷售量 y 的預(yù)報(bào)值 ??^= 100 . 6 + 68 49 = 576 . 6 , 年利潤 z 的預(yù)報(bào)值 ??^= 576 . 6 179。 0 . 2 49 = 66 . 32 . ② 根據(jù) ( 2 ) 的結(jié)果知 , 年利潤 z 的預(yù)報(bào)值 ??^= 0 . 2 ( 100 . 6 + 68 ?? ) x= x+ 13 . 6 ?? + 20 . 12 . 所以當(dāng) ?? =13 . 62= 6 . 8 , 即 x= 46 . 24 時(shí) , ??^取得最大值 . 故年宣傳費(fèi)為 46 . 24 千元時(shí) , 年利潤的預(yù)報(bào)值最大 . 【啟示】文理同題 , 在統(tǒng)計(jì)方面文科與理科的要求相同 . 我們以往僅僅局限于線性回歸直線問題 , 2022 年的這道試題全面顛覆了我們對(duì)非線性回歸分析的教學(xué)和考查認(rèn)識(shí) . 將統(tǒng)計(jì)與概率和函數(shù)融合是課標(biāo)全國卷的特色 , 201 5 年課標(biāo)全國卷 Ⅰ 理 19 對(duì)回歸方程的求解要求較高 , 需將非線性回歸方程的求解轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的求解 . 本題源于課本例題改編 , 精彩之處在于體現(xiàn)了回歸分析的思維過程 : 作散點(diǎn)圖 , 選擇合適的函數(shù) 類型 , 并設(shè)出回歸方程→利用換元法將非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程→求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值→利用回歸直線方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的回歸方程系數(shù)→解決問題 . 將回歸分析思想與函數(shù)思想方法自然交融 , 真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法在決策中的綜合作用 , 是難得一見的好題 . 【變式訓(xùn)練】 某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià) , 將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷 , 得到如下數(shù)據(jù) : 單價(jià) x ( 元 ) 8 8 . 2 8 . 4 8 . 6 8 . 8 9 銷量 y ( 件 ) 90 84 83 80 75 68 ( 1 ) 求回歸直線方程 y＾= b＾x+ a＾, 其中 b＾= 20 , a＾= y? b＾x?。 ( 2 ) 預(yù)計(jì)在今后的銷售中 , 銷量與單價(jià)仍然服從 ( 1 ) 中的關(guān)系 ,且該產(chǎn)品的成本是 4 元 / 件 , 為使工廠獲得最大利潤 , 則該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元 ?( 利潤 = 銷售收入 成本 ) 【解析】 ( 1 ) 因?yàn)?x?=16179。 ( 8 + 8 . 2 + 8 . 4 + 8 . 6 + 8 . 8 + 9 ) = 8 . 5 , y?=16179。 ( 90 + 84 + 83 + 80 + 75 + 68 ) = 80 , 所以 a＾= y? b＾x?= 80 + 20 179。 8 . 5 = 25 0 . 所以回歸直線 方程為 y＾= 20 x+ 250 . ( 2 ) 設(shè)工廠獲得的利潤為 L 元 , 依題意得 L=x ( 20 x+ 250 ) 4 ( 20 x+ 2 50 ) = 20 x2+ 33 0 x 10 00 = 20 ( x 334)2+ 361 . 25 , 當(dāng)且僅當(dāng) x= 8 . 25 時(shí) , L 取得最大值 . 故當(dāng)單價(jià)定為 8 . 25 元時(shí) , 工廠可獲得最大利潤 . 例 17 ( 2 014 年課標(biāo)全國卷 Ⅰ 理 18 ) 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 500 件 , 測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值 , 由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖 : ( 1 ) 求這 50 0 件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x?和樣本方 差s2( 同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表 )。 ( 2 ) 由直方圖可以認(rèn)為 , 這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值 Z 服從正態(tài)分布 N ( μ , σ2), 其中 μ 近似為樣本平均數(shù) x?, σ2近似為樣本方差 s2. ① 利用該正態(tài)分布 , 求 P ( 187 . 8 Z 212 . 2 )。 ② 某用戶從該企業(yè)購買了 100 件這種產(chǎn)品 , 記 X 表示這 10 0件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 ( 187 . 8 , 212 . 2 ) 的產(chǎn)品件數(shù) , 利用① 的結(jié)果 , 求 E ( X ) . 附 : 150 ≈ 12 . 2 . 若 Z~N ( μ , σ2), 則 P ( μ σ Z μ + σ ) = 0 . 6826 , P ( μ 2 σ Z μ + 2 σ ) = 0 . 9544 . 【解析】 ( 1 ) 抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x?和樣本方差 s2分別為