【正文】 　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：　　一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。　　頂點(diǎn)式：y=a(xh)^2+k　　交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(xx1)(xx2)　　重要概念：（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a0時(shí)，開(kāi)口方向向下。IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。）　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次。　　x是自變量，y是x的二次函數(shù)　　x1,x2=[b177?！?b^24ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) 二次函數(shù)的圖像　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=xamp。sup2。的圖像，　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。 拋物線的性質(zhì)　　。對(duì)稱(chēng)軸為直線x = b/2a?！　?duì)稱(chēng)軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P?！　√貏e地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線x=0）　　，坐標(biāo)為P ( b/2a ，(4acbamp。sup2。)/4a )　　當(dāng)b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= bamp。sup2。4ac=0時(shí)，P在x軸上?！　　！　‘?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口?！　a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。　　?！　‘?dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 因?yàn)槿魧?duì)稱(chēng)軸在左邊則對(duì)稱(chēng)軸小于0，也就是b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號(hào)　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸在右邊則對(duì)稱(chēng)軸要大于0，也就是b/2a0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)　　事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到?！　?。　　拋物線與y軸交于（0，c）　　　　Δ= bamp。sup2。4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)?！　ˇ? bamp。sup2。4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。　　_______　　Δ= bamp。sup2。4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x= b177。√bamp。sup2。－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）　　當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在x= b/2a處取得最小值f(b/2a)=4acbamp。sup2。/4a；在{x|xb/2a}上是減函數(shù)，在{x|xb/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4acbamp。sup2。/4a}相反不變　　當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=axamp。sup2。+c(a≠0)　　：R　　值域：（對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4acbamp。sup2。)/4a，正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮）　　奇偶性：偶函數(shù)　　周期性：無(wú)　　解析式：　?、賧=axamp。sup2。+bx+c[一般式]　　⑴a≠0　?、芶＞0，則拋物線開(kāi)口朝上；a＜0，則拋物線開(kāi)口朝下；　?、菢O值點(diǎn)：（b/2a，(4acbamp。sup2。)/4a）；　?、圈?bamp。sup2。4ac,　　Δ＞0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：　?。╗b√Δ]/2a，0）和（[b+√Δ]/2a，0）；　　Δ＝0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：　?。╞/2a，0）；　　Δ＜0，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；　?、趛=a(xh)amp。sup2。+t[配方式]　　此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，t），其中h=b/2a，t=(4acbamp。sup2。)/4a）；　?、踶=a(xx1)(xx2)[交點(diǎn)式]　　a≠0，此時(shí)，xx2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。 [編輯本段]二次函數(shù)與一元二次方程　　特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=axamp。sup2。+bx+c，　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），　　即axamp。sup2。+bx+c=0　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根?！　『瘮?shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根?！　?．二次函數(shù)y=axamp。sup2。，y=a(xh)amp。sup2。，y=a(xh)amp。sup2。 +k，y=axamp。sup2。+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下表：　　解析式　　y=axamp。sup2。　　y=axamp。sup2。+K　　y=a(xh)amp。sup2。　　y=a(xh)amp。sup2。+k　　y=axamp。sup2。+bx+c　　　　頂點(diǎn)坐標(biāo)　　(0，0)　　(0，K)　　(h，0)　　(h，k)　　(b/2a，sqrt[4acbamp。sup2。]/4a)　　　　對(duì) 稱(chēng) 軸　　x=0　　x=0　　x=h　　x=h　　x=b/2a　　　　當(dāng)h0時(shí)，y=a(xh)amp。sup2。的圖象可由拋物線y=axamp。sup2。向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，　　當(dāng)h0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到．　　當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=axamp。sup2。向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(xh)amp。sup2。+k的圖象；　　當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線y=axamp。sup2。向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(xh)amp。sup2。+k的圖象；　　當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(xh)amp。sup2。+k的圖象；　　當(dāng)h0,k0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(xh)amp。sup2。+k的圖象；　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(xh)amp。sup2。+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫(huà)圖象提供了方便．　　2．拋物線y=axamp。sup2。+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(b/2a，[4acbamp。sup2。]/4a)．　　3．拋物線y=axamp。sup2。+bx+c(a≠0)，若a0，當(dāng)x ≤ b/2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x ≥ b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大．若a0，當(dāng)x ≤ b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x ≥ b/2a時(shí)，y隨x的增大而減?。　?．拋物線y=axamp。sup2。+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：　　(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；　　(2)當(dāng)△=bamp。sup2。4ac0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程axamp。sup2。+bx+c=0　　(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?x?| 另外，拋物線上任何一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2（b/2a）－A |（A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)）　　當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；　　當(dāng)△0．圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0；當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0．　　5．拋物線y=axamp。sup2。+bx+c的最值：如果a0(a0)，則當(dāng)x= b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4acbamp。sup2。)/4a．　　頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值．　　6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式　　(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：　　y=axamp。sup2。+bx+c(a≠0)．　　(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸或極大（?。┲禃r(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(xh)amp。sup2。+k(a≠0)．　　(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(xx?)(xx?)(a≠0)．　　7．二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)．第27章 相似知識(shí)框圖 相似三角形的認(rèn)識(shí)　　對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。（similar triangles）?！　』橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切?相似三角形的判定方法　　根據(jù)相似圖形的特征來(lái)判斷。（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）　　(或兩邊的延長(zhǎng)線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；　?。ㄟ@是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線分線段成比例的證明）　　,那么這兩個(gè)三角形相似；　　 　　,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；　　 　　,那么這兩個(gè)三角形相似；　　　　 絕對(duì)相似三角形　　?！　?　　?！　?　　?！　　　≈苯侨切蜗嗨婆卸ǘɡ怼　??！　。⑶曳殖傻膬蓚€(gè)直角三角形也相似?！　∩溆岸ɡ怼　∪切蜗嗨频呐卸ǘɡ硗普摗　⊥普撘唬喉斀腔虻捉窍嗟鹊哪莻€(gè)的兩個(gè)等腰三角形相似?！　⊥普摱貉偷讓?duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似?！　⊥普撊河幸粋€(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似?！　⊥普撍模褐苯侨切伪恍边吷系母叻殖傻膬蓚€(gè)直角三角形和原三角形都相似。　　推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似?！　⊥普摿喝绻粋€(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。 相似三角形的性質(zhì)　　(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。　　?！　?。 相似三角形的特例　　能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（congruent triangles）　　全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：　　，相似比是k=1。　　全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形?！　∫虼?，相似三角形包括全等三角形?！　∪热切蔚亩x　　能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱(chēng)為全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情況）　　當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。　　由此，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等?！　?1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；　　(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；　　(3)有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；　　(4)有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角；　　(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；　　三角形全等的判定公理及推論　　三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)SSS或“邊邊邊”)，這一條也說(shuō)明了三角形具有穩(wěn)定性的原因?！　∮袃蛇吋捌鋳A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS或“邊角邊”)?！　∮袃山羌捌鋳A邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA或“角邊角”)?！　∮?可推到　　有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS或“角角邊”)　　直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL或“斜邊，直角邊”)　　所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。　　注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。　　A是英文角的縮寫(xiě)(angle)，S是英文邊的縮寫(xiě)(side)?！　∪热切蔚男再|(zhì)　　全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等?！　∪热切蔚膶?duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等?！　∪热切蔚膶?duì)應(yīng)角平分線相等?！　∪热切蔚膶?duì)應(yīng)中線相等?！　∪热切蚊娣e相等?！　∪热切沃荛L(zhǎng)相等?！　∪厡?duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS)　　兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SAS)　　兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)　　兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)　　1斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。(HL)　　全等三角形的運(yùn)用　　性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等。 而全等的判定卻剛好相反?！　±眯再|(zhì)和判定，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地找出兩個(gè)全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角是關(guān)鍵。在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定把對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，角、邊的順序?qū)懸恢?，為找?duì)應(yīng)邊，角提供方便。　　3，當(dāng)圖中出現(xiàn)兩個(gè)以上等邊三角形時(shí)，應(yīng)首先考慮用SAS找全等三角形?！　∮迷趯?shí)際中，一般我們用全等三角形測(cè)等距離。以及等角，用于工業(yè)和軍事。有一定幫助?！　∪热切巫鲱}技巧　　一般來(lái)說(shuō)考試中線段和角相等需要證明全等?！　∫虼宋覀兛梢詠?lái)采取逆思維的方式?！　?lái)想要證全等，則需要什么　　另一種則要根據(jù)題目中給出的已知條件，求出有關(guān)信息?！　∪缓蟀阉玫牡仁竭\(yùn)用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等?！　∥凰啤　「拍睿合嗨魄覍?duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行的兩個(gè)圖形叫做位似?！　∥凰埔欢ㄏ嗨频嗨撇灰欢ㄎ凰苸第28章 銳角三角函數(shù)知識(shí)框圖 第29章 投影與視圖知識(shí)框圖 47