【正文】 邊上的兩個(gè)角稱(chēng)為底角。等腰三角形的主要性質(zhì) 兩底角相等。如圖，ΔABC中AB＝AC，取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD，容易證明：ΔABD≌ΔACD，∴∠B＝∠C。如圖，ΔABC中為等邊三角形，那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C，由CA＝CB，得∠A＝∠B，于是∠A＝∠B＝∠C，但∠A＋∠B＋∠C＝180176。，∴∠A＝∠B＝∠C＝60176。如圖，ΔABC中AB＝AC，且AD平分∠BAC，那么由ΔABD≌ΔACD，可得BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，但∠ADB＋∠ADC＝180176。，∴∠ADB＝90176。，從而AD⊥BC，由此又可得到另外兩個(gè)重要推論。兩個(gè)重要推論等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊； 等邊三角形各內(nèi)角相等，且都等于60176。等腰三角形性質(zhì)及其推論的另一種論述方法 三角形中，相等的邊所對(duì)的角相等。等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高三線合而為一。等腰三角形的判定定理及其兩個(gè)推論的核心都可概括為等角對(duì)等邊。它們都是證明兩條線段相等的重要方法。推論3 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30176。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。容易證明：這個(gè)推論的逆命題也是正確的。即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30176。運(yùn)用利用等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理容易證明結(jié)論：“在一個(gè)三角形內(nèi)，如果兩條邊不等，那么它們所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)的角也較大；反過(guò)來(lái)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)的邊較大?！?對(duì)稱(chēng)軸及中心線段的垂直平分線把線段分為相等的兩部分。線段的中點(diǎn)就是它的中心，今后要學(xué)習(xí)“線段是關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的中心圖形”。線段是以它的中垂線為對(duì)稱(chēng)軸的圖形。三線合一的定理的逆定理如圖所示，線段中垂線的性質(zhì)定理的幾何語(yǔ)言為：，于是可以用來(lái)判定等腰三角形，其定理實(shí)質(zhì)上是 三線合一定理的逆定理?！熬嚯x”不同，“心”也不同“線段垂直平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“兩點(diǎn)間的距離”，而角平分線的性質(zhì)定理與逆定理中的“距離”是指“點(diǎn)到直線的距離”。三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三邊的距離相等(這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的內(nèi)心)。三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等(這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的外心)。重要的軌跡圖(A）所示。到角的兩邊OA、OB的距 離相等的點(diǎn)PP2，P3…組成一條射 線OP，即點(diǎn)的集合。如圖(B)所示，到線段AB的兩端點(diǎn)的距離 相等的所有點(diǎn)PPP3…組成一條直 線P1P2，因此這條直線可以看成動(dòng)點(diǎn)形 成的“軌跡”。第十三節(jié)軸線稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形 軸對(duì)稱(chēng)把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形叫做關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，也稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)。根據(jù)定義，兩個(gè)圖形和如果關(guān)于直線l軸對(duì)稱(chēng)，則：（1）和這兩個(gè)圖形的大小及形狀完全相同。（2）把其中一個(gè)圖形沿l翻折后，和應(yīng)完全重合，自然兩個(gè)圖形中的有關(guān)對(duì)應(yīng)點(diǎn)也應(yīng)重合。事實(shí)上，直線l是兩個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。所以容易得到如下性質(zhì)： 性質(zhì)1 關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。性質(zhì)2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。性質(zhì)3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)必在對(duì)稱(chēng)軸上。不難看出，如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)。軸對(duì)稱(chēng)圖形如果一個(gè)圖形沿著一條直線翻折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別①軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)。②軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在兩個(gè)圖形上，而軸對(duì)稱(chēng)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在這一個(gè)圖形上。③軸對(duì)稱(chēng)中的對(duì)稱(chēng)軸可能在兩個(gè)圖形的外邊，而軸對(duì)稱(chēng)圖形中的對(duì)稱(chēng)軸一定過(guò)這個(gè)圖形。聯(lián)系①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完全重合。②如果把軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成是一個(gè)整體，那么這個(gè)整體反映出的圖形便是一個(gè) 軸對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，如果把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形中關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的兩邊部分看成是兩個(gè) 圖形，那么這兩部分對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圖形則關(guān)于這條對(duì)稱(chēng)軸而成軸對(duì)稱(chēng)。第十四節(jié) 勾股定理直角三角形直角三角形中，兩銳角互余，夾直角的兩邊叫直角邊，直角的對(duì)邊叫斜邊，斜邊最長(zhǎng)。等腰直角三角形等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的兩個(gè)底角都等于45176。，頂角等于90176。，相等的兩條直角邊是腰。勾股定理直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即，這就是勾股定理。判定直角三角形如果ΔABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足，那么ΔABC是直角三角形，其中∠C＝90176。第十五節(jié)勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在△ABC中，若a2＋b2＝c2，則△ABC為Rt△。如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形 首先求出最大邊（如c）。驗(yàn)證c2與a2＋b2是否具有相等關(guān)系。若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C＝90176。的直角三角形。若c2≠a2＋b2，則△ABC不是直角三角形。********************** *****攻關(guān)秘技**** 方法1： 證明“文字?jǐn)⑹龅膸缀蚊}”的方法這類(lèi)題目證明起來(lái)較一般幾何題要難，但還是有一定的思路和方法，一般先對(duì)題目進(jìn)行總體分析，分析內(nèi)容大致分為以下四點(diǎn)，然后逐步解決。（1）分析命題的題設(shè)和結(jié)論；（2）結(jié)合題設(shè)和結(jié)論畫(huà)出圖形；（3）綜合題設(shè)結(jié)論和圖形寫(xiě)出已知、求證；（4）進(jìn)行證題分析。方法2： 等腰三角形的邊角求值法在解等腰三角形的邊角求值題時(shí)，應(yīng)考慮到各種可能的情況，還要排除不能構(gòu)成三角形的情形。特別在解決線段或角的和差倍半關(guān)系時(shí)，常利用合成法或分解法，借助添加輔助線來(lái)完成。方法3： 判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法判定一個(gè)直角三角形可利用勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線性質(zhì)或直角三角形的定義等，這些方法都要求掌握并能靈活運(yùn)用。方法4： 作圖題幾何作圖題的每一步都必須有根有據(jù)，所以就要求我們掌握好已學(xué)過(guò)的公理、定理等。要掌握好尺規(guī)作圖，還要多畫(huà)多練。知識(shí)點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)方法： 分析法能力： 分析與解決問(wèn)題的能力難度： 中等知識(shí)點(diǎn)： 全等三角形；角平分線方法： 合成法；分解法能力： 分析與解決問(wèn)題的能力；邏輯推理能力難度： 中等偏難知識(shí)點(diǎn)： 等腰直角三角形的性質(zhì)；線段的垂直平分線性質(zhì)；勾股定理方法： 綜合法能力： 分析與解決問(wèn)題的能力難度： 中等偏難知識(shí)點(diǎn)： 線段的性質(zhì)方法： 數(shù)形結(jié)合法能力： 空間想象能力；分析與解決問(wèn)題的能力難度： 中等偏難專(zhuān)題1： 一題多問(wèn)、一題多圖和多題一解提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的方法是多種多樣的，而認(rèn)真的設(shè)計(jì)課本中例題、習(xí)題的變式，挖掘其潛能也是方法之一。課本中的例題、習(xí)題為中考命題提供了豐富的源泉，它們具有豐富的內(nèi)涵，在由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力上具有示范性和啟發(fā)性，在解題思路和方法上具有典型性和代表性。如果我們不以得到解答為滿足，而是在解完之后，深入其中作進(jìn)一步的挖掘和多方位探索，不僅可得到一系列的新命題，也可從“題?！敝薪饷摮鰜?lái)，達(dá)到事半功倍的效果。而且通過(guò)不同角度、不同方位去思考問(wèn)題，探索不同的解答方案，從而拓寬了思路，培養(yǎng)了思維的靈活性和應(yīng)變能力。專(zhuān)題2： 利用擴(kuò)、剖、串、改提高解題能力學(xué)習(xí)幾何時(shí)，感到例題好學(xué)易懂，但對(duì)稍加變化拓寬引申的問(wèn)題束手無(wú)策，原因是把例題的學(xué)習(xí)看成是孤立的學(xué)一道題，學(xué)完就了事，致使解題時(shí)缺乏應(yīng)變能力，但如果平時(shí)能重視對(duì)題目的擴(kuò)充、剖解、串聯(lián)和改編，就能較好地解決這一問(wèn)題。1．?dāng)U充：將原題條件拓展，使結(jié)論更加豐富充分。2．剖解：分析原題，將較復(fù)雜的圖形肢解為若干個(gè)基本圖形，使問(wèn)題化隱為顯。3．串聯(lián)：由例題的形式（條件、結(jié)論等），聯(lián)想與它相似、相近、相反的問(wèn)題。4．改編：改變?cè)}的條件形式，探索結(jié)論是否成立？專(zhuān)題3： 分析、綜合、輔助線我們研究不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多巧妙的方法，還會(huì)不斷學(xué)習(xí)掌握類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想，形數(shù)結(jié)合的思想，從未知向已知轉(zhuǎn)化的化歸思想，通過(guò)研究這些不斷變化的問(wèn)題，全面把握不等式及不等式組的解法，從而提高我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。專(zhuān)題4： 不等式的若干應(yīng)用在平面幾何里，證題思路主要有：（1）分析法，即從結(jié)論入手，逐步逆推，直至達(dá)到已知事實(shí)后為止。（2）綜合法，先從已知條件入手，運(yùn)用已學(xué)過(guò)的公式、定理、性質(zhì)等推出證明的結(jié)論。（3）兩頭湊，就是將綜合法和分析法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)思考：一方面“從已知推可知”，從已知看可以推出哪些結(jié)論；另一方面“由未知看需知”，從所求結(jié)論逆推看需要什么條件，一旦可知與需知溝通，證題思路即有了。添加輔助線是證明幾何題的重要手段，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一。專(zhuān)題5： 幾何證題的基本方法有兩種：一種是從條件出發(fā)，通過(guò)一系列已確立的命題逐步向前推演，直到達(dá)到證題目的，簡(jiǎn)言之，這是由因?qū)Ч姆椒ǎ覀兎Q(chēng)之為直接證法或綜合法，綜合法證題的程序如下：欲證AB，由于AC，CD，…，x，而xB，先假定命題的結(jié)論成立，考慮達(dá)到目的需具備什么條件，通過(guò)一系列的逆推直到回朔到已知條件為止。簡(jiǎn)言之，這是執(zhí)果索因的方法，我們稱(chēng)之為分析法，分析法證題的程序如下：欲證“AB”，也就是BA，若能分析出BC，CD，…，x，而xA，則斷言BA，也就是AB。在實(shí)際操作上，往往把這兩種方法結(jié)合起來(lái)，先分析探求鋪路，再綜合解題成功，簡(jiǎn)言之就是“倒著推，順著走”?！揭啤⑿D(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)在幾何證題中，常需要將一個(gè)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，常見(jiàn)的幾何變換有全等變換，等積變換和相似變換。本章只講全等變換，也就是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。常見(jiàn)的全等變換的形式有三：1．平移：將圖形中的某些線段乃至整個(gè)圖形平行移動(dòng)到某一適當(dāng)位置，作出輔助圖形，使問(wèn)題得到解決。平移的基本特點(diǎn)是：任一線段在平移過(guò) 程中，其長(zhǎng)度保持不變。2．旋轉(zhuǎn)：將平面圖形繞平面內(nèi)一定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角α得到與原來(lái)形狀和大小相同的圖形，這樣 的變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，α角叫旋 轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)：（1）變換后的圖形與原圖形全等；（2）原圖中任一線段與旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。3．對(duì)稱(chēng)：將一個(gè)圖形（或它的一部分）繞著一條直線翻轉(zhuǎn)180176。，得一個(gè)與原來(lái)形狀、大小完全相同的圖形，這種變換稱(chēng)為軸對(duì)稱(chēng)變換，軸對(duì)稱(chēng)變換的主要特點(diǎn)是：對(duì)稱(chēng)軸是一切翻轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。除軸對(duì)稱(chēng)外，還有中心對(duì)稱(chēng)，這一點(diǎn)我們將在下一章四邊形中講到。方法總結(jié)：復(fù)雜的圖形都是由較簡(jiǎn)單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形這樣使問(wèn)題顯而易見(jiàn)。當(dāng)直接證題有困難時(shí)，常通過(guò)添加輔助線構(gòu)造基本圖形以達(dá)到解題的目的。綜合法是從已知條件出發(fā)探索解題途徑的方法。分析法是從結(jié)論出發(fā)，用倒推來(lái)尋找證明思路的方法。兩頭“湊”的方法，也就是綜合運(yùn)用以上兩種方法才能找到證明思路。（又叫分析――綜合法）。轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化、分解為簡(jiǎn)單的問(wèn)題；或?qū)⒛吧膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)處理的一種思想。