三角函數(shù)綜合應(yīng)用解題方法總結(jié)(超級經(jīng)典)-資料下載頁
2025-05-31 01:54本頁面
【正文】 ac－bc，求∠A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60176。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60176。，∴=sin60176。=。解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB?！遙2=ac，∠A=60176。，∴bcsinA=b2sinB?！?sinA=。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又A＋B＋C＝180176。，所以A＋C＝120176。，從而＝60176。，得。所以。點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（ ） 答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例12．（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵為銳角，∴ ∵ ∴ （II）由（I）知，∴ 由得，即又∵ ∴ ∴ 北2010AB??C∴ 題型7：正余弦定理的實際應(yīng)用例13．（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC=。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（，） 解:在△ABC中，∠DAC=30176。, ∠ADC=60176。－∠DAC=30,所以CD=AC= 又∠BCD=180176。－60176。－60176。=60176。，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，在△ABC中，即AB=因此，BD=故B。點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。（2）（（2009寧夏海南卷理）（本小題滿分12分）為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟解：方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A 點到M，N點的俯角；B點到M，N的俯角；A，B的距離 d （如圖所示） . ②第一步：計算AM . 由正弦定理??；第二步：計算AN . 由正弦定理?。坏谌剑河嬎鉓N. 由余弦定理 .方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角，；B點到M，N點的俯角，；A，B的距離 d （如圖所示）. ②第一步：計算BM . 由正弦定理??；第二步：計算BN . 由正弦定理 ；第三步：計算MN . 由余弦定理21.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵為銳角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知，∴ 由得，即又∵ ∴ ∴ ∴ 點評：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？【思維總結(jié)】1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。2．三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；3．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC 中，…4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，…5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。課后總結(jié)：25 中國領(lǐng)先的中小學(xué)教育品牌
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