三角函數(shù)綜合應(yīng)用解題方法總結(jié)(超級(jí)經(jīng)典)(參考版)
2025-06-03 01:54本頁(yè)面
【正文】 2．三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；3．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC 中，…4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，…5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫助理解”。解（I）∵為銳角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知，∴ 由得，即又∵ ∴ ∴ ∴ 點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。=60176。－60176。, ∠ADC=60176。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=。題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（ ） 答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例12．（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。所以。從而＝60176。解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又A＋B＋C＝180176。評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理?！郻csinA=b2sinB。解法二：在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。∴=sin60176。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60176。解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？例4．（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 答案以下解法略去。 ①－②得：。 解法二：由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。解法一：先解三角方程，求出角A的值。解析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，（2）根據(jù)正弦定理， 因?yàn)椋迹迹?，或①?dāng)時(shí)， ，②當(dāng)時(shí)， ，點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；（2）對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器例2．（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos ∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴（2）由余弦定理的推論得：cos；cos ；點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半。（1）角的變換因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。（1）角與角關(guān)系：A+B+C = π；（2）邊與邊關(guān)系：a + b c，b + c a，c + a b，a－b c，b－c a，c－a b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA；它們的變形形式有：a = 2R sinA。s。3．三角形的面積公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖629，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90176。AB＝c，AC＝b，BC＝a。通過類比可以得到三角函數(shù)y=的對(duì)稱軸方程x=（k∈Z）。二．三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中的對(duì)稱１．函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形（關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱），又是軸對(duì)稱圖形（關(guān)于某直線對(duì)稱），的對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸為．特殊地，原點(diǎn)是其一個(gè)對(duì)稱中心．的對(duì)稱中心是，對(duì)稱軸為，．特殊地，軸是其一條對(duì)稱軸．2．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為．3．正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸是x=k+（k∈Z），它的對(duì)稱軸總是經(jīng)過它圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)。變式：要得到的圖像，只需將的圖像（ ）個(gè)單位長(zhǎng)度（A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平
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