三角函數的應用(參考版)
2024-11-16 18:32本頁面
【正文】 S1 S2 化時 , 求 取最小值時的角 ?. (2)當 a 固定 , ? 變 ∴ xcot?+xtan?+x=a. ∴ S1= a2sin?cos?= a2sin2?. 1 2 1 4 ∴ x= = cot?+tan?+1 a 1+sin?cos? asin?cos? 2+sin2? asin2? = . ∴ S2=x2=( )2= . 2+sin2? asin2? a2sin22? 4+sin22?+4sin2? (2)當 a 固定 , ? 變化時 , S1 S2 =( a2sin2?)? 1 4 a2sin22? 4+sin22?+4sin2? 1 4 4sin2? 4+sin22?+4sin2? = = ( +sin2?+4). sin2? 4 4 t 令 sin2?=t, 則 = (t+ +4). S1 S2 1 4 2 ? ∵ 0? , ∴ 0t≤ 1. 記 f(t)=t+ , 任取 t1, t2?(0, 1], 且 t1t2, 則 4 t f(t1)f(t2)=(t1+ )(t2+ ) 4 t1 4 t2 =(t1t2) t1t2 4(t1t2) =(t1t2)( ). t1t2 t1t24 ∵ t1t20, t1t240, ∴ (t1t2)( )0. t1t2 t1t24 ∴ 即 f(t1)f(t2)0. ∴ f(t1)f(t2). ∴ f(t) 在 (0, 1] 上是減函數 . 4 ? S1 S2 ∴ 當 t=1 時 , 取最小值 , 此時 , ?= . 。 9 10 當 t= 2 時 , S矩形 PQCR 有最大值 (140509000 2 )m2. =4050t29000t+5950. E=k? (其中 k 是一個與電光強度有關的常數 ), 問要使桌子邊緣處最亮即 E 最大 , 應怎樣選擇電燈懸掛的高度 h(指電燈離開桌面的距離 )? 2 米的水平圓桌正中央上空掛一盞電燈 , 已知桌子邊緣一點處的亮度為 E, 燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角 ? 及這一點到光源的距離 r 三者之間的關系為 : r2 sin? 解 : 由已知 r= . cos? 2 4 sin??cos2? ∴ E=k? (0? ). 2 ? ∴ E2= ?sin2??cos4? 16 k2 32 k2 = ?2sin2??cos2??cos2? 3 32 k2 ≤ ?( )3 2sin2?+cos2?+cos2? 108 k2 = . 當且僅當 2sin2?=cos2? 時取等號 , 此時 tan2?= , tan?= . 1 2 2 2 ∴ 當 h=2tan?= 2 時 , E2 最大 , 即 E 最大 . 故電燈懸掛的高度 h 為 2 米時 , 桌子邊緣處最亮 . h ? A B C D E : 某地要修建一橫截面為梯形的水渠 , 為降低成本 , 必須盡量減少水與水渠壁的接觸面 , 若水渠斷面面積為定值 a, 渠深 8 分米 , 則水渠的傾角 ? 為多少時 , 才能使修建成本最低 ? 解 : 作 CE⊥ AD 于 E. 設水渠橫斷面邊長之和為 l , 則 l=BC+2CD. ∵ ED=8cot?, CD= , sin? 8 ∴ 由 =a 得 : 8(2BC+2DE) 2 BC= 8cot?. 8 a sin? 16 ∴ l= 8cot?+ 8 a = +8 (0? ). 8 a s
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