高中數(shù)學(xué)必勝秘籍之函數(shù)知識點總結(jié)-資料下載頁
2025-05-30 22:32本頁面
【正文】 對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：①f（x）0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析：（1）利用3＝13；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y＝ f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）g（b）是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進(jìn)而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三個條件：① xx2是定義域中的數(shù)時，有f（x1－x2）＝；② f（a）＝ －1（a＞0，a是定義域中的一個數(shù)）；③ 當(dāng)0＜x＜2a時，f（x）＜0. 試問：（1） f（x）的奇偶性如何？說明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函數(shù)；（3） 先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù). 對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，，針對不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題. 例9已知函數(shù)f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1） 求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函數(shù)模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1） 先令x＝y(tǒng)＝1，再令x＝y(tǒng)＝ －1；（2） 令y＝ －1；（3） 由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）＝f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，求證：（1） 當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1；（2） f（x）在x∈R上是減函數(shù).分析：（1）先令x＝y(tǒng)＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3） 受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，進(jìn)而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.練習(xí)題：：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數(shù)x、y都成立，則（ ）（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不對2. 若對任意實數(shù)x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯誤的是（ ）（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x） （C）f（）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）（x）對一切實數(shù)x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，則當(dāng)x＞0時，f（x）的取值范圍是（ ）（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）（x）定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)不同的xx2都有f（x1－x2）＝，則f（x）為（ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù) （B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)（x）對任意實數(shù)x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函數(shù)f（x）是（ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù) （B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)參考答案：1．A2．B3．C4．A5．B23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？ (和三角形的面積公式很相似， )22
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