【正文】 飲酒量無關 . 飲酒駕車 5. 模型建立和求解 根據假設（ 1 ），吸收室的酒精量1()xt滿足微分方程初值 題 1 1 1 1 0d d , ( 0)x t k x x D? ? ? 用分離變量法解 得 110( ) ektx t D?? ( . 22 ) 根據假設（ 2 ），中心室的酒精含量2()ct滿足微分方程初值問 題 2 1 12 2 2d, (0 ) 0dc k xk c ctV? ? ? ( . 23 ) 飲酒駕車 5. 模型建立和求解 將 ( 4. ) 式代入 ( 3) 式，得 122 2 1 3 2de , ( 0 ) 0dktck c k k ct?? ? ? ? ( ) 其中30k D V?. ( ) 式 是一階線性常系數非齊次 常微分 方程的初值問題 ，當12kk ?時，用常數變易法解得： ? ?2113212( ) e ek t k tkkctkk????? ( 5) 飲酒駕車 6. 數據擬合和模型檢驗 用 MA T LA B 統計工具箱函數 nl i n f i t ， 根據表 4 .2的數據擬合 ( . 25) 式的參數1k、2k和3k. 結果為： 1 2 . 0 0 7 9k ?，2 0 . 1 8 5 5k ?，3 1 0 3 . 8 6k ? 由圖 可以看到數據擬合效果很好，擬合誤差較小，分布均勻 . 這些說明我們引入的假設和建立的模型是適當的 . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20020406080時間 t （小時）酒精含量c（毫克／百毫升）短時間內喝 2 瓶啤酒 , 血液中酒精含量的數據擬合圖0 5 10 15 20 1 050510數據序號擬合誤差擬合誤差圖圖 飲酒駕車 7. 模型應用 下面 解釋 大李碰到的情況 . 題目說 “ 大李在中午12 點喝了一瓶啤酒，下午 6 點 被 檢查時符合新的駕車標準 ” . 喝酒量減少一半，所以30( 2 ) D V??；根據假設 3 ，1k和2k保持 不變 . 記 中午 12 點 為 t =0 ，由 ( 4. ) 式，血液中酒精含量的經驗公式為 ? ?0 . 1 8 5 5 2 . 0 0 7 92( ) 5 7 . 2 1 6 e ettct???? ( ) 大李在下午 6 點 被 檢查 ，此刻 t =6 ，代入 ( . 2 6) 式，算出酒精含量為 1 8. 799 毫克 / 百毫升， 不 算 飲酒駕車 . 飲酒駕車 7. 模型應用 題目說大李 “ 緊接著在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨 2 點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車 ” . 依題意 ，假設 大李在吃晚飯時短時間內又喝了一瓶啤酒 ， 于是參數1k、2k和3k與解釋中午喝酒一樣 . 但是微分方程模型的時間和初值都不同 . 取 t =0 表示中午 12 點 . 設 當 t = s 時大李吃晚飯又喝了一瓶啤酒 . 請注意 s 6 ，因為大李不可能在 下午 6點 被 檢查 的同 時 就喝酒！ 飲酒駕車 7. 模型應用 于是在晚飯喝酒之前，大李的血液中酒精含量的變化可以用函數 ? ?2113212( ) e e , 0k t k tkkc t t skk??? ? ? ?? 來表示，特別當 t = s 時 ，我們得到新的初始條件 ? ?2113212( ) e ek s k skkcskk????? ( . 2 7) 飲酒駕車 7. 模型應用 根據假設 （ 1 ） ，當ts ?時 ，吸收室的酒精量1()xt滿足 微分方程 初值問題 1111 1 1 1 0 022d d , ( ) eksx t k x x s D D?? ? ? ? ( ) 因為 s 6 ，所以116 6e e 5 . 8 5 8 4 1 0k s k?? ?? ? ?，即可以認為中午所喝的啤酒已經全部吸收入中心室了，所以( ) 式可以簡化為 11 1 1 1 02d d , ( )x t k x x s D? ? ? ( 9) 初值問題 ( 9) 式的 解為1()110 2( ) e , k t sx t D t s????. 飲酒駕車 7. 模型應用 根據假設 （ 2 ） ，當ts ?時 ，中心室的酒精含量2()ct滿足 微分方程 1()22 2 1 3dedk t sck c k kt??? ? ? ( 0) 并且2()ct滿足初始條件 ( 7) 式 . 注意到12kk ?，可以用常數變易法求解由 ( 4 . ) 式和 ( .30) 式聯立而得的初值問題， 解得： ? ?2 1 2 1( ) ( )13212( , ) e e 1 e e , 6k s k s k t s k t skkc t s t skk? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? 飲酒駕車 7. 模型應用 依題意，大李在凌晨 2 點遭遇檢查時被定為飲酒駕車，即220 ( 14 , ) 80cs??. 首 先 ， 我們用 M A T L A B 函數 f pl ot 繪制函數2( ) ( 14 , )f s c s?在區(qū)間6 1 4s??的函數圖形 （見圖 4. 6 ） . 由圖 可知 方程2( 1 4 , ) 2 0cs ?在 s =7 和 s = 附近分別有一個 零點 ，如果大李在這兩個零點之間所表示的時段內很快的喝 1 瓶啤酒，然后在 凌晨 2 點遭遇檢查 時，就會因血液內酒精含量超標 被定為飲酒駕車 . 6 7 8 9 10 11 12 13 1405101520253035404550晚飯喝酒時刻與凌晨 2 點被檢查時酒精含量的關系晚飯喝酒時刻 s （小時）酒精含量c（毫克／百毫升）圖 飲酒駕車 7. 模型應用 用 MA T L A B 函數 f zer o 算出方程2( 1 4 , ) 2 0cs ?在7 和 13. 8 附近的零點 分別 為1s= 6 和2s= ，即 大李在 2 點被定為飲酒駕車的最早 喝酒 時刻為晚上7 時 3 分 ， 最 遲喝酒 時刻為 凌晨 1 時 49 分 . 用 MA T L A B 函數 f m i nbn d 算出2( ) ( 14 , )f s c s?在區(qū)間6 1 4s??的最大值為 4 5. 012 ，說明如果大李只喝1 瓶啤酒，那么無論什么時候喝，大李的血液酒精含量都不會 在凌晨 2 點 超過醉酒駕車的國家標準 80 毫克 / 百毫升 . 飲酒駕車 7. 模型應用 解釋 大李碰到的情況 的 MA T L A B 腳本 ： a=[ 9, 855, 79*5 ( 79 55) ] f c= @(t ) a( 3) .*( ex p( a( 2) .* t ) exp( a( 1) .* t ) ) 。 f c( 6) % 解釋下午 6 點被檢查時符合標準 t =14。 f = @(s ) a( 3) .*( ( exp( a( 2) . *s) exp( a( 1) .*s) +1) ... .*exp( a( 2) . *( t s)) exp( a( 1) .*( t s)))。 f pl ot ( f ,[ 6,1 4] ,39。 k 39。 ) ?? g=@( s) f ( s) 20。 s1= f zero( g,7 ) , s2= f z ero( g,1 ) h=@(s ) f ( s) 。 [ sm ax,f val ] = f m i nbnd ( h,6,14)