20xx屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：怎么樣證明數(shù)列是等差比數(shù)列-資料下載頁
2024-11-02 17:45本頁面
【導(dǎo)讀】C．常數(shù)數(shù)列1,1,1,…na的前n項(xiàng)和，2nSn?na是等比數(shù)列的充要條件是（）。若是，首項(xiàng)與公差分別是多少？變式訓(xùn)練1、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=6n?1，問這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？小結(jié)：要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù).nb是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)()n. 利用等差數(shù)列的判定方法：⑴定義法；⑵中項(xiàng)法.變式訓(xùn)練4、正數(shù)數(shù)列{}na和{}nb滿足：對(duì)任意自然數(shù)1nnnnaba?⑷前n項(xiàng)和公式法：——————————————————————————；分析：由題意可得S3＋S6＝2S9，要證a2，a8，a5成等差數(shù)列，只要證a2＋a5＝2a8即可.⑴寫出這個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)321,,aaa；
【正文】 1411??????? ??? qaaaabb nnnnnn ∴數(shù)列 3,1}{ 1 ?? dbb n 公差是首項(xiàng) 的等差數(shù)列…………………… 4 分 小結(jié)： 若 {log }bna 是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列 {}na 是一個(gè)等比數(shù)列 ； 若數(shù)列 {}na 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列 {lg }na 是公差為 lgq 的等差數(shù)列 。 二、問題探究 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 22 探究問題 已知數(shù)列 {}na 的首項(xiàng)1 23a?，1 2 1nn naa a? ? ?， 1,2,3,n? …． （Ⅰ）證明：數(shù)列 1{ 1}na ?是等比數(shù)列； （Ⅱ）數(shù)列 {}nna 的前 n 項(xiàng)和 nS ． 變式訓(xùn)練 已知數(shù)列 ??na 滿足當(dāng) 1?n 時(shí) ,1141????nnn aaa ,且 511?a . ⑴求證 :數(shù)列??????na1 是等差數(shù)列 ； ⑵試問 21,aa 是否是數(shù)列中的項(xiàng) ?如果是 ,是第幾項(xiàng) 。 如果不是 ,說明理由 . 解：（ 1）根據(jù)題意 511?a 及遞推關(guān)系有 0?na ， 取倒數(shù)得： 4111 ?? ?nn aa ，即 )1(4111 ??? ? naa nn 所以數(shù)列 ??????na1是首項(xiàng)為 5，公差為 4 的等差數(shù)列． （ 2）由（ 1）得： 14)1(451 ????? nnan ， 141?? nan 又 1114 1451915121 ??????? nnaa 所以 21aa 是數(shù)列 }{na 中的項(xiàng)，是第 11 項(xiàng)． 探究問題 設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的公比為 q，前 n 項(xiàng)和為 Sn，是否存在常數(shù) c，使數(shù)列｛ Sn+ c｝也成等比數(shù)列 ?若存在，求出常數(shù) c；若不存在，請(qǐng)明理由 .。 解 ： 存在型開放題的求解一般是從假設(shè)存在入手 ， 逐步深化解題進(jìn)程的 。 設(shè)存在常數(shù) c，使數(shù)列 {Sn+c}成等比數(shù)列 。 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 23 212 )())(( cScScS nnn ???? ??? ， )2( 212 12 ???? ?????? nnnnnn SSScSSS （ 1） 當(dāng) q=1 時(shí) ， Sn=na1 代入上式得 )]2()1([()1()2( 122121 ???????? nnnacananna 即 21a =0 但 01?a， 于是不存在常數(shù) c，使 {Sn+c}成等比數(shù)列 。 （ 2） 當(dāng) 1?q 時(shí)，qqaSnn ??? 1 )1(， 代 入 上 式 得 22221 )1()1()1()1( 1 qqqcaqqqa nn ?????? ， 11??? qac 綜上可知，存在常數(shù) 11??qac，使 {c+nS} 成等比數(shù)列 。 等比數(shù)列 n 項(xiàng)求和公式中公比的分類 ， 極易忘記公比 q=1 的 情形 ， 可不要忽視啊 ! 解析： 條件探索性開放型問題是指命題中結(jié)論明確而需要完備使結(jié)論成立的充分條件的題目。這類問題大致可分為：其一是條件未知，需要探注；其二是條件不足，要求尋求充分條件。解答這類問題，一般從結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，逐一推導(dǎo)，從中找出滿足結(jié)論的條件。 變式訓(xùn)練、 已知 { na }是公比為 q 的等比數(shù)列，且 12 , ?? mmm aaa 成等差數(shù)列 . （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ） 設(shè) 數(shù)列 }{na 的 前 n 項(xiàng)和為 nS ， 試判斷 12 , ?? mmm SSS 是否成等差數(shù)列？說明理由 . 【 思路分析 】 （Ⅰ）依題意，得 2am+2 = am+1 + am， ∴ 2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比數(shù)列 {an}中， a1≠ 0， q≠ 0， 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 24 ∴ 2q2 = q +1，解得 q = 1 或21?. …………… 4 分 （Ⅱ）若 q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1， Sm + 2 = (m+2) a1 ∵ a1≠ 0，∴ 2Sm+2≠ S m + Sm+1 ……………………………… 6 分 若 q =21?， Sm + 1 = m2m )21(6132)21(1)21(1???????? ? Sm + Sm+1 = )21(1)21(1)21(1)21(1 1mm????????? ?])21()21[(3234 1mm ?????? = m)21(3134 ?? ∴ 2 Sm+2 = S m + Sm+1 ………………………………………………… 11 分 故當(dāng) q = 1 時(shí)， Sm , Sm+2 , Sm+1 不成等差數(shù)列； 當(dāng) q =21?時(shí)， Sm , Sm+2 , Sm+1 成等差數(shù)列 . …………………………… 12 分 四、課外訓(xùn)練 （ 2020 深圳一模文）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 11?a ，且對(duì)任意正整數(shù) n ,點(diǎn) ? ?nn Sa ,1? 在直線 022 ??? yx 上 . (Ⅰ ) 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù) ? ，使得數(shù)列?????? ??? nn nS 2??為等差數(shù)列？若存在，求出 ? 的值；若不存在，則說明理由 . 解： (Ⅰ )由題意可得： .022 1 ???? nn Sa ① 2?n 時(shí) , .022 1 ??? ?nn Sa ② …………………… 1 分 ①─② 得 ? ?221022 11 ?????? ?? naaaaa nnnnn， 2122,1 2121 ????? aaaa? …………………… 3 分 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 25 ???na 是首項(xiàng)為 1，公比為 21 的等比數(shù)列， .21 1????????? nna ……………… 4 分 （Ⅱ）解法一 : .2122112111?????? nnnS? ………… …… 5 分 若?????? ? nnS 2?為等差數(shù)列， 則33221 23,22,2 ?????? ?????? SSS成等差數(shù)列 , ……………… 6 分 2 ,82547231492328252349312 ?????? ?????????? ???????????? ? SSS 得 .2?? ……………… 8 分 又 2?? 時(shí)， 22222 ???? nnS nn，顯然 ? ?22 ?n 成等差數(shù)列， 故存在實(shí)數(shù) 2?? ，使得數(shù)列?????? ?? nn nS 2??成等差數(shù)列 . ……………… 9 分 解法二 : .2122112111?????? nnnS? ……………… 5 分 ? ? .212222 122 1 nnnnn nnnS ??????????? ? ?????? …………… 7 分 欲使?????? ??? nn nS 2??成等差數(shù)列 ,只須 02??? 即 2?? 便可 . …………… 8 分 故存在實(shí)數(shù) 2?? ，使得數(shù)列?????? ?? nn nS 2??成 等差數(shù)列 . ……………… 9 分
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