【正文】 ?na1是首項為 5，公差為 4 的等差數(shù)列． （ 2）由（ 1）得： 14)1(451 ????? nnan ， 141?? nan 又 1114 1451915121 ??????? nnaa 所以 21aa 是數(shù)列 }{na 中的項，是第 11 項． 探究問題 設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的公比為 q，前 n 項和為 Sn，是否存在常數(shù) c，使數(shù)列｛ Sn+ c｝也成等比數(shù)列 ?若存在，求出常數(shù) c；若不存在，請明理由 .。 （ 2） 當(dāng) 1?q 時，qqaSnn ??? 1 )1(， 代 入 上 式 得 22221 )1()1()1()1( 1 qqqcaqqqa nn ?????? ， 11??? qac 綜上可知，存在常數(shù) 11??qac，使 {c+nS} 成等比數(shù)列 。 變式訓(xùn)練、 已知 { na }是公比為 q 的等比數(shù)列，且 12 , ?? mmm aaa 成等差數(shù)列 . （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ） 設(shè) 數(shù)列 }{na 的 前 n 項和為 nS ， 試判斷 12 , ?? mmm SSS 是否成等差數(shù)列？說明理由 . 【 思路分析 】 （Ⅰ）依題意，得 2am+2 = am+1 + am， ∴ 2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比數(shù)列 {an}中， a1≠ 0， q≠ 0， 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 24 ∴ 2q2 = q +1，解得 q = 1 或21?. …………… 4 分 （Ⅱ）若 q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1， Sm + 2 = (m+2) a1 ∵ a1≠ 0，∴ 2Sm+2≠ S m + Sm+1 ……………………………… 6 分 若 q =21?， Sm + 1 = m2m )21(6132)21(1)21(1???????? ? Sm + Sm+1 = )21(1)21(1)21(1)21(1 1mm????????? ?])21()21[(3234 1mm ?????? = m)21(3134 ?? ∴ 2 Sm+2 = S m + Sm+1 ………………………………………………… 11 分 故當(dāng) q = 1 時， Sm , Sm+2 , Sm+1 不成等差數(shù)列； 當(dāng) q =21?時， Sm , Sm+2 , Sm+1 成等差數(shù)列 . …………………………… 12 分 四、課外訓(xùn)練 （ 2020 深圳一模文）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ， 11?a ，且對任意正整數(shù) n ,點 ? ?nn Sa ,1? 在直線 022 ??? yx 上 . (Ⅰ ) 求數(shù)列 ??na 的通項公式； （Ⅱ）是否存在實數(shù) ? ，使得數(shù)列?????? ??? nn nS 2??為等差數(shù)列？若存在，求出 ? 的值；若不存在，則說明理由 . 解： (Ⅰ )由題意可得： .022 1 ???? nn Sa ① 2?n 時 , .022 1 ??? ?nn Sa ② …………………… 1 分 ①─② 得 ? ?221022 11 ?????? ?? naaaaa nnnnn， 2122,1 2121 ????? aaaa? …………………… 3 分 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 25 ???na 是首項為 1，公比為 21 的等比數(shù)列， .21 1????????? nna ……………… 4 分 （Ⅱ）解法一 : .2122112111?????? nnnS? ………… …… 5 分 若?????? ? nnS 2?為等差數(shù)列， 則33221 23,22,2 ?????? ?????? SSS成等差數(shù)列 , ……………… 6 分 2 ,82547231492328252349312 ?????? ?????????? ???????????? ? SSS 得 .2?? ……………… 8 分 又 2?? 時， 22222 ???? nnS nn，顯然 ? ?22 ?n 成等差數(shù)列， 故存在實數(shù) 2?? ，使得數(shù)列?????? ?? nn nS 2??成等差數(shù)列 . ……………… 9 分 解法二 : .2122112111?????? nnnS? ……………… 5 分 ? ? .212222 122 1 nnnnn nnnS ??????????? ? ?????? …………… 7 分 欲使?????? ??? nn nS 2??成等差數(shù)列 ,只須 02??? 即 2?? 便可 . …………… 8 分 故存在實數(shù) 2?? ，使得數(shù)列?????? ?? nn nS 2??成 等差數(shù)列 . ……………… 9 分 。這類問題大致可分為：其一是條件未知，需要探注；其二是條件不足，要求尋求充分條件。 設(shè)存在常數(shù) c，使數(shù)列 {Sn+c}成等比數(shù)列 。 解：（ 1）由題意知， *)()41( Nna nn ??…………………… 1 分 12l og3,2l og3 141141 ????? abab nn? 3l og3l og3l og3l og341141411411??????? ??? qaaaabb nnnnnn ∴數(shù)列 3,1}{ 1 ?? dbb n 公差是首項 的等差數(shù)列…………………… 4 分 小結(jié)： 若 {log }bna 是一個等差數(shù)列，則正項數(shù)列 {}na 是一個等比數(shù)列 ； 若數(shù)列 {}na 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列 {lg }na 是公差為 lgq 的等差數(shù)列 。 （ 2）解由（ 1）知 11 1( ) ,2 nn n nb a a ??? ? ? ? 當(dāng) 2n? 時， 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ?2111 1 ( ) ( )22 n ?? ? ? ? ? ? ? 111 ( )21 11 ( )2n???????2211 [1 ( ) ]32n?? ? ? ? 15 2 1( ) ,3 3 2 n?? ? ? 當(dāng) 1n? 時， 1115 2 1( ) 13 3 2 a?? ? ? ?。 三、課外練習(xí) 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 22nnnSa??。 變式訓(xùn)練 （ 2020 上海文 ） 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，且 5 85nnS n a? ? ? ， *nN? 。 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項的和 ? ?????? NnnnS n ,422 ， ⑴寫出這個數(shù)列的前三項 321 , aaa ； ⑵證明：數(shù)列 ??na 除去首項后所成的數(shù)列 ?432 , aaa 是等差數(shù)列。 即存在最大整數(shù) ,7?m 使對任意 *Nn? ，均有 .32mTn ? 說明： 本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。 變式訓(xùn)練 已知 nS 為等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和， )(??? NnnSb nn.求證：數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列 . 【解題思路】 利用等差數(shù)列的判定方法⑴定義法；⑵中項法 . 【解析】 方法 1： 設(shè)等差數(shù)列 ??na 的公差為 d ， dnnnaSn )1(211 ???， ? dnanSb nn )1(2