【正文】 數(shù)列． 二、 問題 探究 探究 問題、 已知數(shù)列前 n 項(xiàng)和 ns nn 22 ?? ，求通項(xiàng)公式 na 并說(shuō)明這個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。 （ Ⅰ ）求 14,aa；（ Ⅱ ）證明： ? ?1 2 nnaa? ?是等比數(shù)列； （ Ⅲ ）求 ??na 的通項(xiàng)公式。 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 2） 一、課前訓(xùn)練 已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=3an2,那么下面結(jié)論正確的是（ ） A． 此數(shù)列為等差數(shù)列 B． 此數(shù)列為等比數(shù)列 C． 此數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列 D． 此 數(shù)列從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列 已知數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn=3n1,求證：數(shù)列｛ an｝是等比數(shù)列． 二、問題探究 探究問題、 已知數(shù)列前 n 項(xiàng)和 ns nn 22 ?? ，求通項(xiàng)公式 na 并說(shuō)明這個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。 所以 1*5 2 1( ) ( )3 3 2 nna n N?? ? ? ?。解答這類問題，一般從結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，逐一推導(dǎo)，從中找出滿足結(jié)論的條件。 （ Ⅰ ）求 14,aa；（ Ⅱ ）證明： ? ?1 2 nnaa? ?是等比數(shù)列；（ Ⅲ ）求 ??na 的通項(xiàng)公式。 證明數(shù)列｛ lg(1+an)｝是等比數(shù)列； 【答案】 ∴ an+11,兩邊取對(duì)數(shù)得 :lg(an+1+1)=2lg(an+1) 即 :lg(an+1+1) lg(an+1) =2 ∴ 數(shù)列 {lg(1 )}na? 是公比為 2 的等比數(shù)列 . 已知 Sn 是等比數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和， S3， S9， S6 成等差數(shù)列，求證 a2， a8， a5 成等差數(shù)列 . 分析：由題意可得 S3＋ S6＝ 2S9，要證 a2， a8， a5 成等差數(shù)列，只要證 a2＋ a5＝ 2a8 即可 . 證明：∵ S3， S9， S6 成等差數(shù)列，∴ S3＋ S6＝ 2S9 若 q＝ 1，則 S3＝ 3a1， S6＝ 6a1， S9＝ 9a1，由等比數(shù)列中， a1≠ 0 得 S3＋ S6≠ 2S9，與題設(shè)矛盾，∴ q≠ 1， ∴ S3＝ a1（ 1－ q3）1－ q ， S6＝a1（ 1－ q6）1－ q ， S9＝a1（ 1－ q9）1－ q 且 a1（ 1－ q3）1－ q ＋a1（ 1－ q6）1－ q ＝2a1（ 1－ q9）1－ q 整理得 q3＋ q6＝ 2q9，由 q≠ 0 得 1＋ q3＝ 2q6 又 ∵ a2＋ a5＝ a1q＋ a1q4＝ a1q(1＋ q3)， ∴ a2＋ a5＝ a1q 變式訓(xùn)練 （ 2020 上海文 ） 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 5 85nnS n a? ? ? ， *nN? 。證明： ? ?1na? 是等比數(shù) 列； 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 7 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和為 nS ，且 ? ?*11 ,24,1 NnaSa nn ???? ? 。2 q6＝ 2a1q7＝ 2a8 ∴ a2， a8， a5 成等差數(shù)列 . 評(píng)述：要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件 . 數(shù)列 ??na 中， 2,8 41 ?? aa 且滿足 nnn aaa ?? ?? 12 2 *Nn? ⑴求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè) nb =)12( 1 nan ? )(),( *21* NnbbbTNn nn ?????? ?，是否存在最大的整數(shù) m ，使得對(duì)任意 *Nn? ，均有 ?nT 32m 成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2； (2)證明：數(shù)列 {an}是等比數(shù)列；（ 3）求 an及 Sn. （ 1） 解 ∵ a1=S1=31（ a11），∴ a1=21. 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 20 又 a1+a2=S2=31(a21),∴ a2=41. (2)證明 ∵ Sn=31（ an1），∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an,∴數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21(21)n1=(21)n,Sn=31 ???????? ???????? 121 n. （ 2020 陜西 文） 已知數(shù)列 ?}na 滿足， *1121 2 , ,2nnn aaa a a n N????’ ＋ 2＝ ＝. ??? 令 1n n nb a a???，證明： {}nb 是等比數(shù)列； (Ⅱ )求 ?}na 的通項(xiàng)公式。 變式訓(xùn)練、 已知 { na }是公比為 q 的等比數(shù)列，且 12 , ?? mmm aaa 成等差數(shù)列 . （Ⅰ）求 q 的值； （Ⅱ） 設(shè) 數(shù)列 }{na 的 前 n 項(xiàng)和為 nS ， 試判斷 12 , ?? mmm SSS 是否成等差數(shù)列？說(shuō)明理由 . 【 思路分析 】 （Ⅰ）依題意，得 2am+2 = am+1 + am， ∴ 2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1 在等比數(shù)列 {an}中， a1≠ 0， q≠ 0， 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 24 ∴ 2q2 = q +1，解得 q = 1 或21?. …………… 4 分 （Ⅱ）若 q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1， Sm + 2 = (m+2) a1 ∵ a1≠ 0，∴ 2Sm+2≠ S m + Sm+1 ……………………………… 6 分 若 q =21?， Sm + 1 = m2m )21(6132)21(1)21(1???????? ? Sm + Sm+1 = )21(1)21(1)21(1)21(1 1mm????????? ?])21()21[(3234 1mm ?????? = m)21(3134 ?? ∴ 2 Sm+2 = S m + Sm+1 ………………………………………………… 11 分 故當(dāng) q = 1 時(shí)， Sm , Sm+2 , Sm+1 不成等差數(shù)列； 當(dāng) q =21?時(shí)， Sm , Sm+2 , Sm+1 成等差數(shù)列 . …………………………… 12 分 四、課外訓(xùn)練 （ 2020 深圳一模文）設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 11?a ，且對(duì)任意正整數(shù) n ,點(diǎn) ? ?nn Sa ,1? 在直線 022 ??? yx 上 . (Ⅰ ) 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù) ? ，使得數(shù)列?????? ??? nn nS 2??為等差數(shù)列？若存在，求出 ? 的值；若不存在，則說(shuō)明理由 . 解： (Ⅰ )由題意可得： .022 1 ???? nn Sa ① 2?n 時(shí) , .022 1 ??? ?nn Sa ② …………………… 1 分 ①─② 得 ? ?221022 11 ?????? ?? naaaaa nnnnn， 2122,1 2121 ????? aaaa? …………………… 3 分 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 25 ???na 是首項(xiàng)為 1，公比為