【正文】 1）， ∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an, ∴數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21解答這類問題，一般從結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，逐一推導(dǎo)，從中找出滿足結(jié)論的條件。 解： 1?n 時(shí)， 32111 ???? sa ； 2?n 時(shí)， ? ? ? ?221 2 1 2 1n n na S S n n n n? ??? ? ? ? ? ? ? ???12 ?? n 因?yàn)?1?n 時(shí)， 31121 ????a 。 （ 1）設(shè) nnn aab 21 ?? ? ，求證：數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列； （ 2）設(shè)nnn ac 2?，求證：數(shù)列 ??nc 是等差數(shù)列； 證明：（ 1） 2?n 時(shí) 111 44 ??? ???? nnnnn aaSSa? ， ? ?11 222 ?? ???? nnnn aaaa ， 1??? nn bb 又 3232 112121 ??????? aaSaab ??nb? 是首項(xiàng)為 3，公比為 2 的等比數(shù)列。 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 3） 一、課前訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn(n∈ N＋ )， 試探究下列 四個(gè)命題 的真假 ： ① 若 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則 an＝ an＋ 1(n∈ N＋ ) ② 若 Sn＝ an2＋ bn(a， b∈ R)，則 {an}是等差數(shù)列 ③ 若 Sn＝ 1－ (－ 1)n，則 {an}是等比數(shù)列 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 21 ④ 若 {an}是等比數(shù)列，則 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m(m∈ N＋ )也成等比數(shù)列． 解析： ① 若 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列， {an}為非零常數(shù)列，故 an＝ an＋ 1(n∈ N＋ )； ② 若 {an}是等差數(shù)列， Sn＝ d2n2＋ ?? ??a1－ d2 n 為 an2＋ bn(a， b∈ R)的形式； ③ 若 Sn＝ 1－ (－ 1)n，則 n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 1－ (－ 1)n－ 1＋ (－ 1)n－ 1＝ (－ 1)n－ 1－ (－ 1)n，而a1＝ 2，適合上述通項(xiàng)公式，所以 an＝ (－ 1)n－ 1－ (－ 1)n是等比數(shù)列； ④ 若 {an}是等比數(shù)列，當(dāng)公比 q＝－ 1 且 m 為偶數(shù)時(shí)， Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m不成等比數(shù)列． 答案： ①②③ 若數(shù)列 {}na 是公比為 4 的等比數(shù)列，且 1 2a= ，則數(shù)列 2{log }na 是（ ） A. 公差為 2 的等差數(shù) 列 B. 公差為 lg2 的等差數(shù)列 C. 公比為 2 的等比數(shù)列 D. 公比為 lg2 的等比數(shù)列 答案 A 的等比數(shù)列公比是首項(xiàng)為41,41}{ 1 ?? qaa n，設(shè) *)(log3241 Nnab nn ???，數(shù)列nnnn bacc ??滿足}{ 。 （ 2） 當(dāng) 1?q 時(shí)，qqaSnn ??? 1 )1(， 代 入 上 式 得 22221 )1()1()1()1( 1 qqqcaqqqa nn ?????? ， 11??? qac 綜上可知，存在常數(shù) 11??qac，使 {c+nS} 成等比數(shù)列 。這類問題大致可分為：其一是條件未知，需要探注；其二是條件不足，要求尋求充分條件。 解：（ 1）由題意知， *)()41( Nna nn ??…………………… 1 分 12l og3,2l og3 141141 ????? abab nn? 3l og3l og3l og3l og341141411411??????? ??? qaaaabb nnnnnn ∴數(shù)列 3,1}{ 1 ?? dbb n 公差是首項(xiàng) 的等差數(shù)列…………………… 4 分 小結(jié)： 若 {log }bna 是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列 {}na 是一個(gè)等比數(shù)列 ； 若數(shù)列 {}na 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列 {lg }na 是公差為 lgq 的等差數(shù)列 。 三、課外練習(xí) 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 22nnnSa??。 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和 ? ?????? NnnnS n ,422 ， ⑴寫出這個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng) 321 , aaa ； ⑵證明：數(shù)列 ??na 除去首項(xiàng)后所成的數(shù)列 ?432 , aaa 是等差數(shù)列。 變式訓(xùn)練 已知 nS 為等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和， )(??? NnnSb nn.求證：數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列 . 【解題思路】 利用等差數(shù)列的判定方法⑴定義法；⑵中項(xiàng)法 . 【解析】 方法 1： 設(shè)等差數(shù)列 ??na 的公差為 d ， dnnnaSn )1(211 ???， ? dnanSb nn )1(211 ???? ? 2)1(2121 111 ddnandabb nn ???????? （常數(shù)） ?數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列 . 方法 2： ? dnanSb nn )1(211 ????， ? ndabn 2111 ??? ， dnab n )1(2112 ???? ? 11112 22)1(21)1(21 ?? ?????????? nnn bndadnadnabb ， ?數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列 . 變式訓(xùn)練 （高考題改編）正數(shù)數(shù)列 {}na 和 {}nb 滿足：對(duì)任意自然數(shù) 1n n nn a b a ?， ， ， 成等差數(shù)列， 11n n nb a b??， ， 成等比數(shù)列．證明：數(shù)列 {}nb 為等差數(shù)列． 證明：依題意， 10 0 2n n n n na b b a a ?? ? ? ?， ， ，且 11n n na b b??? ， 1 ( 2)n n na b b n??? ≥． 112 n n n n nb b b b b??? ? ?． 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 15 由此可得 112 n n nb b b????．即 11 ( 2 )n n n nb b b b n????? ≥． ?數(shù)列 {}nb 為等差數(shù)列． 評(píng)析：本題依據(jù)條件得到 na 與 nb 的遞推關(guān)系，通過消元代換構(gòu)造了關(guān)于 {}nb 的等差數(shù)列，使問題得以解決． 三、總結(jié)提煉 判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有： ⑴定義法： daa nn ???1 （ ??Nn ， d 是常數(shù)） ? ??na 是等差數(shù)列； ⑵中項(xiàng)法： 212 ?? ?? nnn aaa ( ??Nn )? ??na 是等差數(shù)列； ⑶通項(xiàng)公式法： bknan ?? （ bk, 是常數(shù)） ? ??na 是等差數(shù)列； ⑷前 n 項(xiàng)和公式法： BnAnSn ?? 2 （ BA, 是常數(shù)， 0?A ） ? ??na 是等差數(shù)列 . 判斷或證明數(shù)列是等 比 數(shù)列的方法有： ⑴定義法： —————————————————————————— ； ⑵中項(xiàng)法： —————————————————————————— ； ⑶通項(xiàng)公式法： —————————————————————————— ； ⑷前 n 項(xiàng)和公式法： —————————————————————————— ； 熟記一些常規(guī)結(jié)論，有助于解題 若數(shù)列 {}na 是公比為 q 的等比數(shù)列，則 （ 1）數(shù)列 {}na {}na? （ ? 為不等于零的常數(shù)）仍是公比為 q 的等比數(shù)列； （ 2）若 {}nb 是公比為 q? 的等比數(shù)列，則數(shù)列 {}nnab 是公比為 qq? 的等比數(shù)列； （ 3）數(shù)列 1na??????是公比為 1q的等比數(shù)列； 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 16 （ 4）若 ()m n p m n p