20xx屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：怎么樣證明數(shù)列是等差比數(shù)列-wenkub
2022-11-13 17:45:07 本頁(yè)面
【正文】 020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 2 小結(jié) ：要判定 {a n }是不是等差數(shù)列，只要看 a n a n 1（ n≥ 2）是不是一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù) . 變式訓(xùn)練 在數(shù)列 ??na ， ??nb 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè) ()nn nba??*N．?dāng)?shù)列 ??nc 是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論 。 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 5 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 2） 一、課前訓(xùn)練 已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=3an2,那么下面結(jié)論正確的是（ ） A． 此數(shù)列為等差數(shù)列 B． 此數(shù)列為等比數(shù)列 C． 此數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列 D． 此數(shù)列從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列 已知數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn=3n1,求證：數(shù)列｛ an｝是等比數(shù)列． 二、 問(wèn)題 探究 探究 問(wèn)題、 已知數(shù)列前 n 項(xiàng)和 ns nn 22 ?? ，求通項(xiàng)公式 na 并說(shuō)明這個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。證明： ? ?1na? 是等比數(shù) 列； 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 7 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和為 nS ，且 ? ?*11 ,24,1 NnaSa nn ???? ? 。 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 8 數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2； (2)證明：數(shù)列 {an}是等比數(shù)列；（ 3）求 an及 Sn. （ 1） 解 ∵ a1=S1=31（ a11），∴ a1=21. 又 a1+a2=S2=31(a21),∴ a2=41. (2)證明 ∵ Sn=31（ an1）， ∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an, ∴數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21 小結(jié)： 若 {log }bna 是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列 {}na 是一個(gè)等比數(shù)列 ； 若數(shù)列 {}na 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列 {lg }na 是公差為 lgq 的等差數(shù)列 。解答這類(lèi)問(wèn)題，一般從結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，逐一推導(dǎo)，從中找出滿(mǎn)足結(jié)論的條件。2 q6＝ 2a1q7＝ 2a8 ∴ a2， a8， a5 成等差數(shù)列 . 評(píng)述：要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件 . 數(shù)列 ??na 中， 2,8 41 ?? aa 且滿(mǎn)足 nnn aaa ?? ?? 12 2 *Nn? ⑴求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè) nb =)12( 1 nan ? )(),( *21* NnbbbTNn nn ?????? ?，是否存在最大的整數(shù) m ，使得對(duì)任意 *Nn? ，均有 ?nT 32m 成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解： 1?n 時(shí)， 32111 ???? sa ； 2?n 時(shí)， ? ? ? ?221 2 1 2 1n n na S S n n n n? ??? ? ? ? ? ? ? ???12 ?? n 因?yàn)?1?n 時(shí)， 31121 ????a 。 注：由于 212 ???aa ，故 21 ??? nn aa 不對(duì)任意 Nn? 成立，因此，數(shù)列 ??na 不是等差數(shù)列。 （ 1）設(shè) nnn aab 21 ?? ? ，求證：數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列； （ 2）設(shè)nnn ac 2?，求證：數(shù)列 ??nc 是等差數(shù)列； 證明：（ 1） 2?n 時(shí) 111 44 ??? ???? nnnnn aaSSa? ， ? ?11 222 ?? ???? nnnn aaaa ， 1??? nn bb 又 3232 112121 ??????? aaSaab ??nb? 是首項(xiàng)為 3，公比為 2 的等比數(shù)列。 數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2； (2)證明：數(shù)列 {an}是等比數(shù)列；（ 3）求 an及 Sn. （ 1） 解 ∵ a1=S1=31（ a11），∴ a1=21. 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 20 又 a1+a2=S2=31(a21),∴ a2=41. (2)證明 ∵ Sn=31（ an1），∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an,∴數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21(21)n1=(21)n,Sn=31 ???????? ???????? 121 n. （ 2020 陜西 文） 已知數(shù)列 ?}na 滿(mǎn)足， *1121 2 , ,2nnn aaa a a n N????’ ＋ 2＝ ＝. ??? 令 1n n nb a a???，證明： {}nb 是等比數(shù)列； (Ⅱ )求 ?}na 的通項(xiàng)公式。 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 3） 一、課前訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn(n∈ N＋ )， 試探究下列 四個(gè)命題 的真假 ： ① 若 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則 an＝ an＋ 1(n∈ N＋ ) ② 若 Sn＝ an2＋ bn(a， b∈ R)，則 {an}是等差數(shù)列 ③ 若 Sn＝ 1－ (－ 1)n，則 {an}是等比數(shù)列 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 21 ④ 若 {an}是等比數(shù)列，則 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m(m∈ N＋ )也成等比數(shù)列． 解析： ① 若 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列， {an}為非零常數(shù)列，故 an＝ an＋ 1(n∈ N＋ )； ② 若 {an}是等差數(shù)列， Sn＝ d2n2＋ ?? ??a1－ d2 n 為 an2＋ bn(a， b∈ R)的形式； ③ 若 Sn＝ 1－ (－ 1)n，則 n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 1－ (－ 1)n－ 1＋ (－ 1)n－ 1＝ (－ 1)n－ 1－ (－ 1)n，而a1＝ 2，適合上述通項(xiàng)公式，所以 an＝ (－ 1)n－ 1－ (－ 1)n是等比數(shù)列； ④ 若 {an}是等比數(shù)列，當(dāng)公比 q＝－ 1 且 m 為偶數(shù)時(shí)， Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m不成等比數(shù)列． 答案： ①②③ 若數(shù)列 {}na 是公比為 4 的等比數(shù)列，且 1 2a= ，則數(shù)列 2{log }na 是（ ） A. 公差為 2 的等差數(shù) 列 B. 公差為 lg2 的等差數(shù)列 C. 公比為 2 的等比數(shù)列 D. 公比為 lg2 的等比數(shù)列 答案 A 的等比數(shù)列公比是首項(xiàng)為41,41}{ 1 ?? qaa n，設(shè) *)(log3241 Nnab nn ???，數(shù)列nnnn bacc ??滿(mǎn)足}{ 。 如果不是 ,說(shuō)明理由 . 解：（ 1）根據(jù)題意 511?a 及遞推關(guān)系有 0?na ， 取倒數(shù)得： 4111 ?? ?nn aa ，即 )1(4111 ??? ? naa nn 所以數(shù)列 ?????
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