20xx屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：怎么樣證明數(shù)列是等差比數(shù)列(已修改)
2024-11-18 17:45 本頁(yè)面
【正文】 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 1 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 1） 一、課前訓(xùn)練 某數(shù)列既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，那么該數(shù)列一定是（ ） A．公差為 0 的等差數(shù)列 B．公比為 1 的等比數(shù)列 C．常數(shù)數(shù)列 1,1,1,… D．以上都不對(duì) 數(shù)列 {a n }的通項(xiàng)公式 an = 2n + 5，則此數(shù)列是（ ） . 2 的等差數(shù)列 5 的等差數(shù)列 2 的等差數(shù)列 n 的等差數(shù)列 若 Sn 是數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和， 2nSn? , 則 ??na 是 ( ). Ａ．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 Ｂ .等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 Ｃ．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 Ｄ .既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 22 ??? nn pS ， ??na 是等比數(shù)列的 充要條件是 （ ） A. 1?p B 2?p C. 1??p D. 2??p 二、 問(wèn)題探究 探究問(wèn)題 、 已知數(shù)列 {a n }的通項(xiàng)公式 a n = pn + q ，其中 p、 q 是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)？若是，首項(xiàng)與公差分別是多少？ 變式 訓(xùn)練 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 a n = 6n? 1，問(wèn)這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？ 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 2 小結(jié) ：要判定 {a n }是不是等差數(shù)列，只要看 a n a n 1（ n≥ 2）是不是一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù) . 變式訓(xùn)練 在數(shù)列 ??na ， ??nb 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè) ()nn nba??*N．?dāng)?shù)列 ??nc 是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論 。 變式訓(xùn)練 已知 nS 為等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和， )(??? NnnSb nn.求證：數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列 . 【解題思路】 利用等差數(shù)列的 判定方法 ： ⑴定義法；⑵中項(xiàng)法 . 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 3 變式訓(xùn)練 （高考題改編） 正數(shù)數(shù)列 {}na 和 {}nb 滿足：對(duì)任意自然數(shù) 1n n nn a b a ?， ， ， 成等差數(shù)列， 11n n nb a b??， ， 成等比數(shù)列．證明：數(shù)列 {}nb 為等差數(shù)列． 分析 ： 本題依據(jù)條件得到 na 與 nb 的遞推關(guān)系，通過(guò)消元代換構(gòu)造了關(guān)于 {}nb 的等差數(shù)列，使問(wèn)題得以解決． 三、總結(jié)提煉 判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有： ⑴定義法： daa nn ???1 （ ??Nn ， d 是常數(shù)） ? ??na 是等差數(shù)列； ⑵中項(xiàng)法： 212 ?? ?? nnn aaa ( ??Nn )? ??na 是等差數(shù)列； ⑶通項(xiàng)公式法： bknan ?? （ bk, 是常數(shù)） ? ??na 是等差數(shù)列； ⑷前 n 項(xiàng)和公式法： BnAnSn ?? 2 （ BA, 是常數(shù)， 0?A ） ? ??na 是等差數(shù)列 . 判斷或證明數(shù)列是等 比 數(shù)列的方法有： ⑴定義法： —————————————————————————— ； ⑵中項(xiàng)法： —————————————————————————— ； ⑶通項(xiàng)公式法： —————————————————————————— ； 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 4 ⑷前 n 項(xiàng)和公式法： —————————————————————————— ； 五、課外訓(xùn)練 已知 a1=2，點(diǎn) (an,an+1)在函數(shù) f(x)=x2+2x 的圖象上 。 證明數(shù)列｛ lg(1+an)｝是 等比數(shù)列 。 已知 Sn 是等比數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和， S3， S9， S6 成等差數(shù)列，求證 a2， a8， a5 成等差數(shù)列 . 分析： 由題意可得 S3＋ S6＝ 2S9，要證 a2， a8， a5 成等差數(shù)列，只要證 a2＋ a5＝ 2a8 即可 . 數(shù)列 ??na 中， 2,8 41 ?? aa 且滿足 nnn aaa ?? ?? 12 2 *Nn? ⑴求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè) nb =)12( 1 nan ? )(),( *21* NnbbbTNn nn ?????? ?，是否存在最大的整數(shù) m ，使得對(duì)任意 *Nn? ，均有 ?nT32m成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 5 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 2） 一、課前訓(xùn)練 已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=3an2,那么下面結(jié)論正確的是（ ） A． 此數(shù)列為等差數(shù)列 B． 此數(shù)列為等比數(shù)列 C． 此數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列 D． 此數(shù)列從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列 已知數(shù)列｛ an｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn=3n1,求證：數(shù)列｛ an｝是等比數(shù)列． 二、 問(wèn)題 探究 探究 問(wèn)題、 已知數(shù)列前 n 項(xiàng)和 ns nn 22 ?? ，求通項(xiàng)公式 na 并說(shuō)明這個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和 ? ?????? NnnnS n ,422 ， ⑴寫出這個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng) 321 , aaa ； ⑵證明：數(shù)列 ??na 除去首項(xiàng)后所成的數(shù)列 ?432 , aaa 是等差數(shù)列。 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 6 變式訓(xùn)練 設(shè) nS 為數(shù) 列 ??na 的前 n 項(xiàng)和， )( ??? NnpnaS nn ， .21 aa ? ⑴求常數(shù) p 的值；⑵求證：數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列 . 變式訓(xùn)練 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 )2(02 1 ???? ? nSSa nnn ，又211?a， 求證：??????nS1 是等差數(shù)列。 變式訓(xùn)練 （ 2020 上海文 ） 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，且 5 85nnS n a? ? ? ， *nN? 。證明： ? ?1na? 是等比數(shù) 列； 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 7 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)的和為 nS ，且 ? ?*11 ,24,1 NnaSa nn ???? ? 。 （ 1）設(shè) nnn aab 21 ?? ? ，求證：數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列； （ 2）設(shè)nnn ac 2?，求證：數(shù)列 ??nc 是等差數(shù)列 。 三、 課外練習(xí) 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 22nnnSa??。 （ Ⅰ ）求 14,aa；（ Ⅱ ）證明： ? ?1 2 nnaa? ?是等比數(shù)列； （ Ⅲ ）求 ??na 的通項(xiàng)公式。 樂(lè)從中學(xué)
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