【正文】 意正整數(shù) n ,點 ? ?nn Sa ,1? 在直線 022 ??? yx 上 . (Ⅰ ) 求數(shù)列 ??na 的通項公式； （Ⅱ）是否存在實數(shù) ? ，使得數(shù)列?????? ??? nn nS 2??為等差數(shù)列？若存在，求出 ? 的值；若不存在，則說明理由 . 解： (Ⅰ )由題意可得： .022 1 ???? nn Sa ① 2?n 時 , .022 1 ??? ?nn Sa ② …………………… 1 分 ①─② 得 ? ?221022 11 ?????? ?? naaaaa nnnnn， 2122,1 2121 ????? aaaa? …………………… 3 分 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 25 ???na 是首項為 1，公比為 21 的等比數(shù)列， .21 1????????? nna ……………… 4 分 （Ⅱ）解法一 : .2122112111?????? nnnS? ………… …… 5 分 若?????? ? nnS 2?為等差數(shù)列， 則33221 23,22,2 ?????? ?????? SSS成等差數(shù)列 , ……………… 6 分 2 ,82547231492328252349312 ?????? ?????????? ???????????? ? SSS 得 .2?? ……………… 8 分 又 2?? 時， 22222 ???? nnS nn，顯然 ? ?22 ?n 成等差數(shù)列， 故存在實數(shù) 2?? ，使得數(shù)列?????? ?? nn nS 2??成等差數(shù)列 . ……………… 9 分 解法二 : .2122112111?????? nnnS? ……………… 5 分 ? ? .212222 122 1 nnnnn nnnS ??????????? ? ?????? …………… 7 分 欲使?????? ??? nn nS 2??成等差數(shù)列 ,只須 02??? 即 2?? 便可 . …………… 8 分 故存在實數(shù) 2?? ，使得數(shù)列?????? ?? nn nS 2??成 等差數(shù)列 . ……………… 9 分 。 如果不是 ,說明理由 . 解：（ 1）根據(jù)題意 511?a 及遞推關(guān)系有 0?na ， 取倒數(shù)得： 4111 ?? ?nn aa ，即 )1(4111 ??? ? naa nn 所以數(shù)列 ??????na1是首項為 5，公差為 4 的等差數(shù)列． （ 2）由（ 1）得： 14)1(451 ????? nnan ， 141?? nan 又 1114 1451915121 ??????? nnaa 所以 21aa 是數(shù)列 }{na 中的項，是第 11 項． 探究問題 設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的公比為 q，前 n 項和為 Sn，是否存在常數(shù) c，使數(shù)列｛ Sn+ c｝也成等比數(shù)列 ?若存在，求出常數(shù) c；若不存在，請明理由 .。 數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2； (2)證明：數(shù)列 {an}是等比數(shù)列；（ 3）求 an及 Sn. （ 1） 解 ∵ a1=S1=31（ a11），∴ a1=21. 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 20 又 a1+a2=S2=31(a21),∴ a2=41. (2)證明 ∵ Sn=31（ an1），∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an,∴數(shù)列 {an}是首項為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21(21)n1=(21)n,Sn=31 ???????? ???????? 121 n. （ 2020 陜西 文） 已知數(shù)列 ?}na 滿足， *1121 2 , ,2nnn aaa a a n N????’ ＋ 2＝ ＝. ??? 令 1n n nb a a???，證明： {}nb 是等比數(shù)列； (Ⅱ )求 ?}na 的通項公式。 注：由于 212 ???aa ，故 21 ??? nn aa 不對任意 Nn? 成立，因此，數(shù)列 ??na 不是等差數(shù)列。2 q6＝ 2a1q7＝ 2a8 ∴ a2， a8， a5 成等差數(shù)列 . 評述：要注意題中的隱含條件與公式的應(yīng)用條件 . 數(shù)列 ??na 中， 2,8 41 ?? aa 且滿足 nnn aaa ?? ?? 12 2 *Nn? ⑴求數(shù)列 ??na 的通項公式； ⑵設(shè) nb =)12( 1 nan ? )(),( *21* NnbbbTNn nn ?????? ?，是否存在最大的整數(shù) m ，使得對任意 *Nn? ，均有 ?nT 32m 成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，請說明理由。 小結(jié)： 若 {log }bna 是一個等差數(shù)列，則正項數(shù)列 {}na 是一個等比數(shù)列 ； 若數(shù)列 {}na 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列時，數(shù)列 {lg }na 是公差為 lgq 的等差數(shù)列 。證明： ? ?1na? 是等比數(shù) 列； 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 7 變式訓(xùn)練 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項的和為 nS ，且 ? ?*11 ,24,1 NnaSa nn ???? ? 。樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 1 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 1） 一、課前訓(xùn)練 某數(shù)列既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，那么該數(shù)列一定是（ ） A．公差為 0 的等差數(shù)列 B．公比為 1 的等比數(shù)列 C．常數(shù)數(shù)列 1,1,1,… D．以上都不對 數(shù)列 {a n }的通項公式 an = 2n + 5，則此數(shù)列是（ ） . 2 的等差數(shù)列 5 的等差數(shù)列 2 的等差數(shù)列 n 的等差數(shù)列 若 Sn 是數(shù)列 ??na 的前 n 項和， 2nSn? , 則 ??na 是 ( ). Ａ．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 Ｂ .等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 Ｃ．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 Ｄ .既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 22 ??? nn pS ， ??na 是等比數(shù)列的 充要條件是 （ ） A. 1?p B 2?p C. 1??p D. 2??p 二、 問題探究 探究問題 、 已知數(shù)列 {a n }的通項公式 a n = pn + q ，其中 p、 q 是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)？若是，首項與公差分別是多少？ 變式 訓(xùn)練 已知數(shù)列的通項公式為 a n = 6n? 1，問這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？ 樂從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 2 小結(jié) ：要判定 {a n }是不是等差