20xx屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列-文庫(kù)吧
2025-09-29 17:45 本頁(yè)面
【正文】 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 8 數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn=31(an1). （ 1）求 a1,a2； (2)證明：數(shù)列 {an}是等比數(shù)列；（ 3）求 an及 Sn. （ 1） 解 ∵ a1=S1=31（ a11），∴ a1=21. 又 a1+a2=S2=31(a21),∴ a2=41. (2)證明 ∵ Sn=31（ an1）， ∴ Sn+1=31（ an+11），兩式相減， 得 an+1=31an+131an,即 an+1=21an, ∴數(shù)列 {an}是首項(xiàng)為 21，公比為 21的等比數(shù)列 . （ 3） 解 由（ 2）得 an=21 (21)n1=(21)n, Sn=31 ???????? ???????? 121 n. （ 2020 陜西 文） 已知數(shù)列 ?}na 滿足， *1121 2 , ,2nnn aaa a a n N????’ ＋ 2＝ ＝. ??? 令 1n n nb a a???，證明： {}nb 是等比數(shù)列； (Ⅱ )求 ?}na 的通項(xiàng)公式。 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 9 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 3） 一、課前訓(xùn)練 若數(shù)列 {}na 是公比為 4 的等比數(shù)列，且 1 2a= ，則數(shù)列 2{log }na 是（ ） A. 公差為 2 的等差數(shù)列 B. 公差為 lg2 的等差數(shù)列 C. 公比為 2 的等比數(shù)列 D. 公比為 lg2 的等比數(shù)列 設(shè)數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn(n∈ N＋ )， 試探究下列 四個(gè)命題 的真假 ： ① 若 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則 an＝ an＋ 1(n∈ N＋ ) ② 若 Sn＝ an2＋ bn(a， b∈ R)，則 {an}是等差數(shù)列 ③ 若 Sn＝ 1－ (－ 1)n，則 {an}是等比數(shù)列 ④ 若 {an}是等比數(shù)列，則 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m(m∈ N＋ )也成等比數(shù)列． 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 10 的等比數(shù)列公比是首項(xiàng)為41,41}{ 1 ?? qaa n，設(shè) *)(log3241 Nnab nn ???，數(shù)列nnnn bacc ??滿足}{ 。求證： }{nb 是等差數(shù)列 。 小結(jié)： 若 {log }bna 是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列 {}na 是一個(gè)等比數(shù)列 ； 若數(shù)列 {}na 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列 {lg }na 是公差為 lgq 的等差數(shù)列 。 二、 問(wèn)題探究 探究問(wèn)題 已知數(shù)列 {}na 的首項(xiàng)1 23a?，1 2 1nn naa a? ? ?， 1,2,3,n? …． （Ⅰ）證明：數(shù)列 1{ 1}na ?是等比數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列 {}nna 的前 n 項(xiàng)和 nS ． 變式訓(xùn)練、 已知數(shù)列 ??na 滿足當(dāng) 1?n 時(shí) ,1141????nnn aaa ,且 511?a . 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 11 ⑴求證 :數(shù)列??????na1 是等差數(shù)列 ； ⑵試問(wèn) 21,aa 是否是數(shù)列中的項(xiàng) ?如果是 ,是第幾項(xiàng) ； 如果不是 ,說(shuō)明理由 . 探究問(wèn)題 設(shè)等比數(shù)列｛ an｝的公比為 q，前 n 項(xiàng)和為 Sn，是否存在常數(shù) c，使數(shù)列｛ Sn+ c｝也成等比數(shù)列 ?若存在，求出常數(shù) c；若不存在，請(qǐng)明理由 .。 分析 ： 條件探索性開(kāi)放型問(wèn)題 是指命題中結(jié)論明確而需要 完備使結(jié)論成立的充分條件的題目。這類(lèi)問(wèn)題大致可分為：其一是條件未知，需要探注；其二是條件不足，要求尋求充分條件。解答這類(lèi)問(wèn)題，一般從結(jié)論出發(fā)，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列出，逐一推導(dǎo)，從中找出滿足結(jié)論的條件。 變式訓(xùn)練、 已知 { na }是公比為 q 的等比數(shù)列，且 12 , ?? mmm aaa 成等差數(shù)列 . （Ⅰ）求 q 的值； 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 12 （Ⅱ） 設(shè) 數(shù)列 }{na 的 前 n 項(xiàng)和為 nS ， 試判斷 12 , ?? mmm SSS 是否成等差數(shù)列？說(shuō)明理由 . 四、課外訓(xùn)練 （ 2020 深圳一模文） 設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 11?a ，且對(duì)任意正整數(shù) n ,點(diǎn) ? ?nn Sa ,1? 在直線 022 ??? yx 上 . (Ⅰ ) 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù) ? ，使得數(shù)列?????? ??? nn nS 2??為等差數(shù)列？若存在，求出 ? 的值；若不存在，則說(shuō)明理由 . 樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 13 課題： 怎么樣證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列 （ 1） 一、課前訓(xùn)練 某數(shù)列既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，那么該數(shù)列一定是（ ） A．公差為 0 的等差數(shù)列 B．公比為 1 的等比數(shù)列 C．常數(shù)數(shù)列 1,1,1,… D．以上都不對(duì) 數(shù)列 {a n }的通項(xiàng)公式 an = 2n + 5，則此數(shù)列是（ ） . 2 的等差數(shù)列 5 的等差數(shù)列 2 的等差數(shù)列 n 的等差數(shù)列 若 Sn 是數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和， 2nSn? , 則 ??na 是 ( ). Ａ．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 Ｂ .等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 Ｃ．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 Ｄ .既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 22 ??? nn pS ， ??na 是等比數(shù)列的充要條件是 （ D ） A. 1?p B 2?p C. 1??p D. 2??p 二、問(wèn)題探究 探究問(wèn)題、 已知數(shù)列 {a n }的通項(xiàng)公式 a n = pn + q ，其中 p、 q 是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定樂(lè)從中學(xué) 2020 屆高三文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)小專(zhuān)題導(dǎo)學(xué)案 主編 何健文 14 是等差數(shù)？若是，首項(xiàng)與公差分別是多少？ 變式訓(xùn)練 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 a n = 6 n 1，問(wèn)這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？ 小結(jié) ：要判定 {a n }是不是等差數(shù)列，只要看 a n a n 1（ n≥ 2）是不是一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù) . 變式訓(xùn)練 在數(shù)列 ??na ， ??nb 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè) ()nn nba??*N．?dāng)?shù)列 ??nc 是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論 。 變式訓(xùn)練 已知 nS 為等差數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和， )(??? NnnSb nn.求證：數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列 . 【解題思路】 利用等差數(shù)列的判定方法⑴定義法；⑵中項(xiàng)法 . 【解析】 方法 1： 設(shè)等差數(shù)列 ??n
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